II. Exercices sur les distributions

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Théorie des distributions.

1. Théorie des distributions

1.1. Énoncé

\(Y(x)\) désignant la fonction de Heaviside, calculer au sens des distributions :

\[\begin{aligned} &T=\Big\{\frac{d}{dx}-\lambda\Big\}~Y(x)~\exp(\lambda~x)\\ &U=\Big\{\frac{d^2}{dx^2}+\omega^2\Big\}~Y(x)~\frac{\sin(\omega~x)}{x}\end{aligned}\]

1.2. Solution

1.2.1. Fonction T

\(\forall\varphi\in\mathcal{D}\), on peut écrire :

\[\begin{aligned} &\langle T,~\varphi\rangle=\Big\langle \Big\{\frac{d}{dx}-\lambda\Big\}~Y(x)~\exp(\lambda x),~\varphi(x)\Big\rangle\\ &\langle T,~\varphi\rangle=\Big\langle \frac{d}{dx}\{~Y(x)~\exp(\lambda~x)\},~\varphi(x)\rangle-\lambda\langle Y(x)~\exp(\lambda~x),~\varphi(x)\Big\rangle\end{aligned}\]

En effectuant la dérivation au sens des \(<~>\) : \[\langle T,~\varphi\rangle=-\langle~Y(x)~\exp(\lambda~x),~\varphi'(x)\rangle-\lambda\langle Y(x)~\exp(\lambda~x),~\varphi(x)\rangle\]

Passant à présent à l’écriture sous forme d’intégrale des \(<~>\) :

\[\begin{aligned} &\langle T,~\varphi\rangle=-\int_{-\infty}^{+\infty}~Y(x)~\exp(\lambda~x)~\varphi'(x)~dx-\lambda\int_{-\infty}^{+\infty}~Y(x)~\exp(\lambda~x)~\varphi(x)~dx\\ &\langle T,~\varphi\rangle=-\int_0^{+\infty}\exp(\lambda~x)~\varphi'(x)~dx-\lambda\int_0^{+\infty}\exp(\lambda~x)~\varphi(x)~dx\end{aligned}\]

Dans la première intégrale, effectuons une intégration par parties en posant :

\[\begin{aligned} &u=\exp(\lambda~x)\quad\Rightarrow\quad du=\lambda~\exp(\lambda~x)~dx\\ &dv=\varphi'(x)~dx\quad\Rightarrow\quad v=\varphi(x)\end{aligned}\]

Il vient alors :

\[\begin{aligned} \langle T,~\varphi\rangle=-\{\exp(\lambda~x)~\varphi(x)\}_0^{\infty} &+\lambda\int_0^{+\infty}\exp(\lambda~x)~\varphi(x)~dx \\ &-\lambda\int_0^{+\infty}\exp(\lambda~x)~\varphi(x)~dx=\varphi(0)\end{aligned}\]

Et on en déduit que : \[\langle T,~\varphi\rangle=\varphi(0)=\langle \delta,~\varphi\rangle\qquad\text{c'est-à-dire~:}\quad T=\delta\]

1.2.2. Fonction U

On adopte la même méthode que pour \(T\) avec cette fois une dérivation au second ordre :

\[\begin{aligned} &\langle U,~\varphi\rangle=\Big\langle\Big\{\frac{d^2}{dx^2}+\omega^2\Big\}~Y(x)~\frac{\sin(\omega~x)}{\omega},~\varphi(x)\Big\rangle\\ &\langle U,~\varphi\rangle=\Big\langle\frac{d^2}{dx^2}\Big\{Y(x)~\frac{\sin(\omega~x)}{\omega}\Big\},~\varphi(x)\Big\rangle+\langle\omega~\langle Y(x)~\sin(\omega~x),~\varphi(x)\rangle\\ &\langle U,~\varphi\rangle=\langle Y(x)~\frac{\sin(\omega~x)}{\omega},~\varphi''(x)\rangle+\omega~\langle Y(x)~\sin(\omega~x),~\varphi(x)\rangle\end{aligned}\]

Passant à la transformation par intégrale : \[\langle U,~\varphi\rangle=\int_0^{\infty}\frac{\sin(\omega~x)}{\omega}~\varphi''(x)~dx+\omega\int_0^{\infty}\sin(\omega~x)~\varphi(x)~dx\]

En procédant à deux intégrations successives par parties \((\varphi'',~\varphi')\), on obtient comme précédemment: \[\langle U,~\varphi\rangle=\varphi(0)=\langle \delta,~\varphi\rangle\qquad\text{c'est-à-dire~:}\quad U=\delta\]

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