III. Équations canoniques. Formalisme hamiltonien

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Formalisme hamiltonien. Exemples : point matériel dérivant d'un potentiel U, électron dans un champ magnétique.

1. Formalisme hamiltonien

Nous considèrerons maintenant comme variables canoniques les variables \(q^i\) et les moments généralisés \(p_i=\partial L/\partial\dot{q}^i\). Les conditions initiales \((\dot{q}^i)\) et \((q^i)\) sont par ailleurs connues.

Reprenons la relation différentielle : \[\frac{dL}{dt}=\frac{\partial L}{\partial q^i}~\frac{dq^i}{dt}+\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i}~\frac{d\dot{q}^i}{dt}+\frac{\partial L}{\partial t}\]

On a par ailleurs : \[\frac{d}{dt}\Big(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i}\Big)=\frac{\partial L}{\partial q^i}\]

La relation différentielle devient : \[\frac{dL}{dt}=\frac{d}{dt}\Big(\frac{\partial L}{\partial q^i}\Big)~\dot{q}^i+\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i}~\frac{d\dot{q}^i}{dt}+\frac{\partial L}{\partial t}\]

On a donc successivement :

\[\begin{aligned} &\frac{dL}{dt}=\frac{d}{dt}\Big(\dot{q}^i~\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i}\Big)+\frac{\partial L}{\partial t}\\ &\frac{d}{dt}\Big(\dot{q}^i~\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i}-L\Big)=-\frac{\partial L}{\partial t}\\ &\frac{d}{dt}\Big(p_i~\dot{q}^i-L\Big)=-\frac{\partial L}{\partial t}\end{aligned}\]

L’expression soumise à la dérivation par rapport au temps est appelée hamiltonien \(H\). Elle doit être exprimée uniquement à l’aide des paramètres \(p\) et \(q\). \[H(p_k,~q^i,~t)=p_i~\dot{q}^i-L\]

Introduisons la différentielle :

\[\begin{aligned} &dH=p_i~d\dot{q}^i+\dot{q}^i~dp_i-L\\ &dH=p_i~d\dot{q}^i+\dot{q}^i~dp_i-\frac{\partial L}{\partial q^i}~dq^i-\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i}~\dot{q}^i-\frac{\partial L}{\partial t}\end{aligned}\]

Mais on a : \[\frac{d}{dt}\Big(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i}\Big)=\frac{\partial L}{\partial q^i}=\dot{p}^i\]

D’où :

\[\begin{aligned} &dH=\dot{q}^i~dp_i-\dot{p}_i~dq^i-\frac{\partial L}{\partial t~}dt\\ &dH=\frac{\partial H}{\partial p_i}~dp_i+\frac{\partial H}{\partial q^i}+\frac{\partial H}{\partial t}~dt\end{aligned}\]

Par identification : \[\frac{\partial H}{\partial p_i}=\dot{q}^i\quad;\quad \frac{\partial H}{\partial q^i}=-\dot{p_i}\quad;\quad \frac{\partial H}{\partial t}=-\frac{\partial L}{\partial t}\]

Dans le système hamiltonien, nous avons \((2~n + 1)\) équations alors que \(n\) équations caractérisent le système lagrangien. Les équations sont ici du premier ordre alors qu’elles sont du second ordre dans le cas du lagrangien.

Nous pouvons retrouver le principe de conservation de l’énergie : \[dH=\frac{\partial H}{\partial p_i}~dp_i+\frac{\partial H}{\partial q^i}~d\dot{q}^i+\frac{\partial H}{\partial t}~dt =\dot{q}^i~\dot{p}_i-\dot{p}_i~\dot{q}^i+\frac{\partial H}{\partial t}\]

On a alors : \[\frac{dH}{dt}=\frac{\partial H}{\partial t}\]

Ainsi, si \(H\) est explicitement indépendante du temps, \(H\), intégrale première, sera une constante qui correspond à l’énergie.

2. Exemples

2.1. Point matériel dans un champ dérivant d’un potentiel U

\[\begin{aligned} &H=\sum\dot{x}~p_x-L\\ &p_x=m~\dot{x}\quad;\quad\sum\dot{x}~p_x=\sum m~\dot{x}^2=2~T\\ &H=2~T-L=2~T-(T-U)=T+U\\ &T=\frac{1}{2}~\sum m~\dot{x}^2=\sum\frac{p_x^2}{2~m}\\ &H=\frac{1}{2~m}~(p_x^2+p_y^2+p_z^2)+U(x,~y,~z)\end{aligned}\]

2.2. Électron dans un champ magnétique

On part des équations :

\[\begin{aligned} &\overrightarrow{E}=-\overrightarrow{\rm grad~\varphi}-\frac{\partial\overrightarrow{A}}{\partial t}\\ &\overrightarrow{B}=\overrightarrow{\rm rot}\overrightarrow{A}\\ &\overrightarrow{F}=e~(\overrightarrow{E}+\overrightarrow{v}\wedge\overrightarrow{B})\end{aligned}\]

On désigne par \(x_i\) et \(\dot{x}_i\) les variables. Pour simplifier, on s’intéressera à la composante 1 : \[\begin{aligned} F_1=e~(E_1+v_2~B_3-v_3~B_2) \end{aligned} \qquad \left\{ \begin{aligned} B_1=\partial_2A_3-\partial_3A_2\\ B_2=\partial_3A_1-\partial_1A_3\\ B_3=\partial_1A_2-\partial_2A_1 \end{aligned} \right.\]

En reprenant la première relation : \[F_1=e~\big\{-\partial_1\varphi-\frac{\partial A_1}{\partial t}+v_2~(\partial_1A_2-\partial_2A_1)-v_3~(\partial_3A_1-\partial_1A_3)\big\}\]

En remettant la relation sous une autre forme : \[\frac{F_1}{e}=-\partial_1\varphi-\partial_tA_1+v_1~\partial_1A_1+v_2~\partial_1A_2+v_3~\partial_1A_3 -v_1~\partial_1A_1-v_2~\partial_2A_1-v_3~\partial_3A_1\]

On obtient la forme condensée : \[\frac{F_1}{e}=-\partial_1\varphi-\partial_tA_1-v_i~\frac{\partial A_1}{\partial x_i}+\overrightarrow{v}\cdot\frac{\partial\overrightarrow{A}}{\partial x_1}\]

Par ailleurs : \[\frac{dA_1}{dt}=\frac{\partial\overrightarrow{A_1}}{\partial t}+\frac{\partial\overrightarrow{A_1}}{dx^i}~\frac{\partial x^i}{\partial t}=\frac{\partial\overrightarrow{A_1}}{\partial t}+v_i~\frac{\partial\overrightarrow{A_1}}{dx^i}\]

On a donc : \[\frac{F_1}{e}=-\partial_1\varphi-\frac{dA_1}{dt}+\overrightarrow{v}\cdot\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial x^1}\]

Mais, \(x\) et \(\dot{x}\) étant des variables indépendantes : \[\overrightarrow{•v}\frac{\partial A}{\partial x^1}=\frac{\partial}{\partial x^1}(\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{A})\]

Comme \(\overrightarrow{A}\) est non fonction de \(\dot{x}\) :

\[\begin{aligned} A_1&=\frac{\partial}{\partial\dot{x}^1}(\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{A})\\ \frac{F_1}{e}&=-\frac{\partial\varphi}{\partial x^1}-\frac{d}{dt}\frac{\partial}{\partial\dot{x}^1}(\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{A})+\frac{\partial}{\partial x^1}(\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{A})\\ \frac{F_1}{e}&=\frac{d}{dt}\frac{\partial}{\partial\dot{x}^1}(\varphi-\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{A})-\frac{\partial}{\partial x^1}(\varphi-\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{A})\qquad\text{car }~\varphi(x,~y,~z)\end{aligned}\]

On a par suite :

\[\begin{aligned} &F_1=\Big(\frac{d}{dt}\frac{\partial}{\partial\dot{x}^1}-\frac{\partial}{\partial x^1}\Big)~(e~\varphi-\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{A})\\ &F_1=M~\Big(\frac{d}{dt}\frac{\partial}{\partial\dot{x}^1}-\frac{\partial}{\partial x^1}\Big)\end{aligned}\]

D’où : \[F_1=\frac{d}{dt}\frac{\partial M}{\partial\dot{x}^1}-\frac{\partial M}{\partial x^1}\]

Compte tenu de la relation : \[\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{x}^1}-\frac{\partial L}{\partial x^1}=0\]

et en posant \(L=T-M\) : \[F_1=\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial\dot{x}^1}-\frac{\partial T}{\partial x^1}=\frac{d}{dt}\frac{\partial M}{\partial\dot{x}^1}-\frac{\partial M}{\partial x^1}\]

Donc, \(L=T-(e~\varphi-e~\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{A})\)  constitue un bon lagrangien.

Introduisons l’impulsion généralisée : \[\frac{\partial L}{\partial\dot{x}^1}=\frac{\partial T}{\partial\dot{x}^1}=p_1+e~A\]

et le moment généralisé : \[\overrightarrow{P}=\overrightarrow{P_1}+e~\overrightarrow{A}\]

On peut écrire :

\[\begin{aligned} &H=\sum\dot{x}^i~p_i-L=\overrightarrow{P}\cdot\overrightarrow{v}\\ &H=(\overrightarrow{P}+e~\overrightarrow{A})-T+e~\varphi-e~\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{A}\\ &H=\overrightarrow{P}\cdot\overrightarrow{v}-T+e~\varphi=2~T-T+e~\varphi=T+e~\varphi\end{aligned}\]

Remarque

\(\overrightarrow{A}\) disparaît, donc \(\overrightarrow{B}\) est sans influence. Et s’il n’y a que \(\overrightarrow{B}\), on a \(\overrightarrow{F}\bot\overrightarrow{v}\) et le travail n’apparaît pas dans l’énergie.

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