II. Homogénéité. Équations aux dimensions

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Dimension des grandeurs. Écriture symbolique des paramètres. Notion d’homogénéité ; contrôle de formule et de relation. Exemples d’applications.

1. Dimension des grandeurs

1.1. Définitions et notation

Par convention, les grandeurs physiques sont organisées selon un système de dimensions. Chacune des sept grandeurs de base du système international d’unités (SI) est supposée avoir sa propre dimension, représentée symboliquement par une seule lettre majuscule sans empattement. Les symboles utilisés pour les grandeurs de base, et les symboles utilisés pour indiquer leur dimension, sont les suivants : \[\begin{array}{l|c|c} \text{Grandeur de base} & \text{Symbole de la grandeur} & \text{Symbole de la dimension} \\ \hline \text{longueur} & l, x, r, etc. & \textsf{L} \\ \text{masse} & m & \textsf{M} \\ \text{temps, durée} & t & \textsf{T} \\ \text{courant électrique} & I, i & \textsf{I} \\ \text{température thermodynamique} & T & \Theta \\ \text{quantité de matière} & n & \textsf{N} \\ \text{intensité lumineuse} & I_v & \textsf{J} \\ \end{array}\]

Toutes les autres grandeurs sont des grandeurs dérivées, qui peuvent être exprimées en fonction des grandeurs de base à l’aide des équations de la physique. Les dimensions des grandeurs dérivées sont écrites sous la forme de produits de puissances des dimensions des grandeurs de base au moyen des équations qui relient les grandeurs dérivées aux grandeurs de base. En général la dimension d’une grandeur Q s’écrit sous la forme d’un produit dimensionnel : \[\dim Q = \textsf L^\alpha~\textsf M^\beta~\textsf T^\gamma~\textsf I^\delta~\Theta^\epsilon~\textsf N^\zeta~\textsf J^\eta\]

où les exposants \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\), \(\epsilon\), \(\zeta\) et \(\eta\), qui sont en général de petits nombres entiers, positifs, négatifs ou nuls, sont appelés exposants dimensionnels. L’information fournie par la dimension d’une grandeur dérivée sur la relation entre cette grandeur et les grandeurs de base est la même que celle contenue dans l’unité SI pour la grandeur dérivée, elle-même obtenue comme produit de puissances des unités de base du SI.

Les symboles des dimensions et les exposants sont traités selon les règles ordinaires de l’algèbre. Par exemple, la dimension pour la superficie s’écrit \(\textsf L^2\) ; la dimension pour la vitesse \(\textsf{L~T}^{−1}\) ; la dimension pour la force \(\textsf{L M T}^{−2}\) ; et la dimension pour l’énergie \(\textsf L^2~\textsf{M T}^{−2}\).

1.2. Grandeurs sans dimension

Certaines grandeurs dérivées \(Q\) sont définies par une équation aux grandeurs telle que tous les exposants dimensionnels entrant dans l’expression de la dimension de \(Q\) sont égaux à zéro. C’est vrai, en particulier, pour une grandeur définie comme le rapport entre deux grandeurs de même nature. Ces grandeurs sont décrites comme étant sans dimension, ou de dimension un. L’unité cohérente dérivée de telles grandeurs est toujours le nombre un, 1, puisque c’est le rapport entre les unités de deux grandeurs de même nature, donc identiques.

Il existe également des grandeurs qui ne peuvent pas être décrites au moyen des sept grandeurs de base du SI, mais dont la valeur est déterminée par comptage. Par exemple le nombre de molécules, la dégénérescence en mécanique quantique (le nombre d’états indépendants ayant la même énergie) et la fonction de partition en thermodynamique statistique (le nombre d’états thermiques accessibles). Ces grandeurs sont aussi habituellement considérées comme sans dimension, ou de dimension un, et ont pour unité le nombre un, 1.

Par exemple, l’indice de réfraction d’un milieu est défini comme le rapport entre la vitesse de la lumière dans le vide et celle dans ce milieu ; c’est le rapport entre deux grandeurs de même nature. C’est donc une grandeur sans dimension.

De même, l’angle plan dont la mesure en radians est le rapport entre un arc de cercle et le rayon de celui-ci est de dimension 1.

2. Homogénéité

Prenons par exemple l’expression d’une surface au regard de l’unité de longueur. Nous dirons qu’une surface est homogène au carré d’une longueur, ce que l’on traduira par la formule symbolique (dite équation aux dimensions) : \[S~=~\textsf L^2\]

Cela signifie en particulier que si l’unité de longueur est prise \(\alpha\) fois plus grande, l’unité de surface deviendra \(\alpha^2\) fois plus grande : \[\textsf L\rightarrow\alpha~\textsf L\quad\Rightarrow\quad S=\alpha^2~\textsf L^2\]

De même, une vitesse \(v\) est définie comme le quotient d’une longueur (distance parcourue) par un temps \(t\). Elle aura pour expression symbolique : \[V=\frac{\textsf L}{\textsf T}=\textsf{L T}^{-1}\]

On notera que cette écriture symbolique s’applique aussi bien au cas des variables exprimées par des différences finies (discrètes) ou des différentielles (continues). \[V_M=\frac{\Delta x}{\Delta t}~;~~v(t)=\frac{dx}{dt}\quad\Rightarrow\quad V=\frac{\textsf L}{\textsf T}=\textsf{L T}^{-1}\]

Ainsi, on établirait de proche en proche que :

\[\begin{aligned} &\text{Accélération} && x"(t)=\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{d}{dt}\Big(\frac{dx}{dt}\Big) && \Gamma=\textsf{L T}^{-2}\\ &\text{Force} && f=m~\gamma=m~\frac{d^2x}{dt^2} && F=\textsf{M L T}^{-2}\\ &\text{Énergie} && W=f~d &&W=\textsf{M L T}^{-2}\\ &\text{Puissance} && P=\frac{d}{dt}(W) && P=\textsf{M L}^2~\textsf T^{-3}\\ &\text{Pression} && P=\frac{F}{S}=\frac{m\gamma}{s} && P=\textsf{M L}^{-1}~\textsf T^{-2}\end{aligned}\]

3. Vérification de formule

Après avoir établi une formule, il est bon de vérifier son homogénéité par rapport à l’unité de grandeur physique associée. Par exemple, vérifier que la formule exprimant la période du pendule correspond bien à un temps. Nous prendrons quelques exemples pour appuyer cette proposition.

3.1. Pendule

La période des oscillations d’un pendule simple de longueur \(l\) est donnée par : \[T_0=2\pi~\sqrt{\frac{l}{g}}\quad;\quad g~=~9,81~\textsf m~s^{-2}\]

Le coefficient numérique \(2\pi\) (sans dimension) n’est pas pris en compte.

\[\begin{aligned} &g~(\text{accélération pesanteur}) && \textsf{L}~\textsf{T}^{-2}\\ &l~(\text{(longeur)} && \textsf{L}\\ &T_0~(\text{période)} && \sqrt{\frac{\textsf{L}}{\textsf{L~T}^{-2}}}=\textsf{T}\end{aligned}\]

Remarque

On retrouverait un résultat analogue avec le pendule composé, solide de forme quelconque de masse \(m\) et oscillant autour d’un axe situé à une distance \(a\) du centre de gravité : \[T_0=2\pi~\sqrt{\frac{I}{m~g~a}}\]

\(I\) est le moment d’inertie du solide en rotation par rapport à cet axe. L’expression symbolique de \(I\) est de la forme : \(I=m~d^2\), soit en symbolique \(I=\textsf{M L}^2\). On retrouve, par simplification la forme symbolique précédente.

3.2. Constantes de temps électriques

Le produit \(R~C\) est homogène à un temps. Il intervient en effet dans les formules exprimant la charge et la décharge d’un condensateur à travers une résistance.

Pour la charge (réponse à l’échelon de tension E) : \[u(t)=E~\{1-\exp(-t/R~C)\}\]

Pour la décharge dans la résistance : \[u(t)=E~\exp(-t/R~C)\]

Le produit \(R~C\) intervient dans l’argument de l’exponentielle. Comme cet argument doit être sans dimension il faut que le produit \(R~C\) soit homogène à un temps. Il en est de même pour la constante de temps associée à un circuit \(R~L\).

Vérification

  • La formule liant la charge \(Q\) aux bornes d’un condensateur de capacité \(C\) et la tension \(V\) à ces bornes est \(Q=C~V\).

  • La formule liant une charge \(Q\), une intensité \(I\) pendant un temps T est \(Q=\textsf{I T}\).

  • On voit que l’on peut écrire : \(\textsf{I T}=C~V\).

  • Par multiplication des deux membres de la relation par \(R\) : \(R~\textsf{I T}=R~C~V\).

  • Or, le produit \(R~\textsf I\) est homogène à une tension \(V\).

  • Il reste bien \(\textsf{T}=R~C\).

Démonstration analogue pour une inductance \(L=dI/dt\)

4. Contrôle de relation

Il s’agit de vérifier cette fois qu’une relation mathématique a un sens, conformément à cette première règle de l’arithmétique enseignée par nos maîtres de l’école primaire : « on additionne des choux avec des choux et des moutons avec des moutons ».

4.1. Oscillateur harmonique

Considérons l’oscillateur harmonique et analysons l’équation du mouvement : \[\frac{d^2x}{dt^2}+\Big(\frac{4\pi^2}{T_0^2}\Big)~x=0\]

  • Le terme \(4\pi^2\) est une constante sans dimension.

  • Le premier terme est une accélération, donc de symbole \(\textsf{L T}^{-2}\).

  • Le deuxième terme est homogène à \(\textsf L/\textsf T^2\), c’est-à-dire \(\textsf{L T}^{-2}\).

  • La proposition est donc vérifiée.

4.2. Quantité de mouvement pour un photon

On définit la quantité de mouvement d’un corps de masse \(m\) animé d’une vitesse \(v\) par l’expression : \(p=m~v\). Or, la notion de masse n’a pas de sens pour un photon. Il est animé d’une vitesse \(c\), la vitesse de la lumière, la plus grande vitesse possible. Il possède cependant une quantité de mouvement mais qui s’exprime par la relation particulière : \[p=\frac{h~\nu}{c}\]

Le principe de l’équation aux dimensions va nous permettre de vérifier la validité de cette proposition :

  • \(h\) est la constante de Planck :   \(6,6260693(11)\times 10^{-34}~\rm J~s\).

  • Il s’agit d’une énergie multipliée par une temps donc de symbole : \(\textsf{M L}^2~\textsf T^{-2}\times \textsf T\), c’est-à-dire : \(\textsf{M L}^2~\textsf T^{-1}\).

  • \(c\) est la vitesse de la lumière, donc symboliquement : \(\textsf{L T}^{-1}\).
    \(\nu\) est une fréquence donc homogène à l’inverse d’un temps : \(\textsf T^{-1}\).

  • Tous calculs faits : \(P=\textsf{M L T}^{-1}\), c’est-à-dire : \(\textsf{M}~V\)
    et la proposition est donc démontrée.

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