VII. Collisions élastiques (2)

Méthodes de calcul

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Méthode de Born. Cas particuliers des petites et des grandes vitesses. Formule de Rutherford.

1. Méthode de Born

Le champ diffusant peut être considéré comme une perturbation sous l’une des conditions : \[\left\{ \begin{aligned} &|U|~\ll~\frac{\hbar^2}{m~a^2} &&(1)\\ &|U|~\ll~\frac{\hbar~\nu}{a}~=~\frac{\hbar^2}{m~a^2}~k~a\quad &&(2)\qquad a~:~\text{rayon d'action de}~U(r) \end{aligned} \right.\]

  • \(U\) : ordre de grandeur de ce champ dans la région principale de son existence

Nous chercherons la fonction d’onde sous la forme : \[\Psi~=~\Psi^{(0)}~+~\Psi^{(1)}\qquad\text{où}\quad\Psi^{(0)}~=~\exp(i~k~r)\]

\(\Psi^{(0)}\) correspond à une particule incidente de vecteur d’onde : \(\overrightarrow{k}~=~\cfrac{\overrightarrow{p}}{\hbar} \)

Pour \(\Psi^{(1)}\), on peut écrire (point diffusant pris comme origine) : \[\Psi^{(1)}(x',~y',~z')~=~\frac{m}{2\pi~\hbar^2}\int U(x',~y',~z')~\exp\big\{i~(\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{r'}+k~R)\big\}~\frac{dV'}{R}\qquad(3)\]

\(\qquad\overrightarrow{R_0}\) : rayon vecteur au point d’observation de \(\Psi^{(1)}\)

\(\qquad\overrightarrow{n'}\) : rayon unité de \(\overrightarrow{R_0}\)

\(\qquad\overrightarrow{r'}\) : rayon vecteur de l’élément de volume \(dV'\)

\(\qquad\overrightarrow{R}~=~\overrightarrow{R_0}-\overrightarrow{r'}\)(aux grandes distances du centre : \(\overrightarrow{R}~=~\overrightarrow{R_0}-\overrightarrow{r'}\))

Tous calculs faits, on obtient l’expression asymptotique de \(\Psi^{(1)}\) : \[\Psi^{(1)}~\approx~-\frac{m}{2\pi~\hbar^2}~\frac{\exp(i~k~R_0)}{R_0}\int U(r')~exp\big\{i~(\overrightarrow{k}-\overrightarrow{k'})\cdot\overrightarrow{r'}\big\}~dV'\]

  • \(\overrightarrow{k'}=k~\overrightarrow{n'}\) : vecteur d’onde de la particule après la diffusion

Revenant à l’amplitude de la fonction de diffusion précédente : \[\Psi~\approx~\exp(i~k~z)~+~\frac{f(\theta)}{r}~\exp(i~k~r)\]

on obtient : \[\left\{ \begin{aligned} f~&=~-\frac{m}{2\pi~\hbar^2}\int U~\exp(-i~q~r)~dV &&(4)\\ \overrightarrow{q}~&=~\overrightarrow{k'}-\overrightarrow{k}\qquad;\qquad q~=~2~k~\sin\frac{\theta}{2}\quad &&(\text{module})\\ \theta~&=~(\overrightarrow{k},~\overrightarrow{k'}) &&(\text{angle de diffusion}) \end{aligned} \right.\]

D’où la section efficace de diffusion dans l’élément d’angle solide \(d\Omega\) : \[d\sigma_e~=~\frac{m^2}{4\pi^2~\hbar^4}~~\Big|\int U~\exp(-i~q~r)~dV\Big|^2~d\Omega\qquad(5)\]

On voit que la diffusion avec variation de l’impulsion de \(\hbar~\overrightarrow{q}\) est déterminée par le carré du module de la composante de Fourier correspondante du champ \(U\).

Formule à attribuée à M. Born.

À partir de (4), on obtient pour l’amplitude de diffusion dans un champ central symétrique : \[f~=~-\frac{2~m}{\hbar^2}~\int_0^{\infty} U(r)~\frac{\sin(q~r)}{q}~r~dr\qquad(6)\]

2. Cas particuliers

Revenons au cas général des champs arbitraires \(U(x,y,z)\) et considérons les cas : \[k~a~\ll~1~~(\text{petites vitesses})\quad;\quad k~a~\gg~1~~(\text{grandes vitesses})\]

2.1. Petites vitesses

On peut poser : \[\exp(-i~q~r)~\approx~1\qquad\text{dans l'intégrale (4)}\]

De sorte que l’amplitude de diffusion : \[f~=~-\frac{m}{2\pi~\hbar^2}~\int U~dV\qquad(7)\]

Et si \(U~=~U(r)\), on a alors : \[f~=~-\frac{2~m}{\hbar^2}~\int U(r)~r^2~dr\qquad(8)\]

La diffusion est ici isotrope par rapport aux directions et ne dépend pas de la vitesse.

2.2. Grandes vitesses

La diffusion accuse une forte anisotropie, dirigée en avant dans un cône d’angle : \[\Delta\theta~\approx~\cfrac{1}{k~a}\]

La section totale décroît avec l’angle solide découpé par le cône proportionnellement à : \[(\Delta\theta)^2~\approx~\frac{1}{k^2~a^2}\]

c’est-à-dire inversement proportionnelle à l’énergie.

Enfin, dans maintes applications physiques de la théorie des collisions, figure en tant que caractéristique de la diffusion l’intégrale : \[\sigma_{tr}~=~\int (1-\cos\theta)~d\sigma\qquad(9)\]

souvent appelée section de transport.

Il résulte de considérations analogues à celles mentionnées ci-dessus qu’aux grandes vitesses, cette quantité est en raison inverse du carré de l’énergie.

3. Un calcul pratique. Formule de Rutherford

Il est possible de trouver la section efficace différentielle dès lors que l’on connaît la relation entre le paramètre d’impact \(p\) et la déviation \(\theta\).

Nous nous placerons dans le cas de particules \(\alpha\) de charge \(e\) et de masse \(m\), telles que celles qui sont émises par les noyaux de radium qui viennent frapper un noyau d’or de charge \(Z~e\).

On montre que la relation entre \(p\) et \(\theta\) est donnée par : \[\tan\frac{\theta}{2}~=~\frac{Z~e^2}{4\pi~\varepsilon_0~m~v^2~p}\]

\(\qquad v\) : vitesse de la particule \(\alpha\) (loin du noyau)

La particule \(\alpha\) décrit une hyperbole dont le noyau est l’un des foyers.

Les particules qui, pat unité de temps, subiront une déviation comprise entre \(\theta\) et \(\theta+d\theta\) sont celles qui passent à l’intérieur d’une couronne d’aire (\(2\pi~p~dp\)).

On a donc : \[\begin{aligned} p~&=~\frac{Z~e^2}{4\pi~\varepsilon_0~m~v^2}~\cot\frac{\theta}{2}\\ |dp|~&=~\frac{Z~e^2}{4\pi~\varepsilon_0~m~v^2}~\frac{1}{\sin^2\cfrac{\theta}{2}}~\frac{d\theta}{2} \end{aligned}\qquad(10)\]

Un calcul assez simple conduit à la formule de Rutherford : \[\sigma(\theta)~=~\frac{Z^2~e^4}{4\pi~\varepsilon_0~m^2~v^4}~\frac{1}{\sin^4\cfrac{\theta}{2}}\qquad(11)\]

Pour obtenir la section efficace totale, il faut l’intégrer, mais en tenant compte de la présence d’électrons autour du noyau d’or.

Si la particule \(\alpha\) passe trop loin, le champ du noyau sera complètement blindé par les électrons et ne se fera pas sentir.

Si on appelle \(R\) le rayon de l’atmosphère électronique, la déviation est nulle pour les particules qui passent à une distance supérieure à \(R\).

On a donc : \[\tan\frac{\theta_m}{2}~=~\frac{Z~e^2}{4\pi~\varepsilon_0~m~v^2}~\frac{1}{R}\qquad(12)\]

Et pour la section efficace totale : \[\sigma_e~=~\int_{\theta m}^\pi\sigma(\theta)~2\pi\sin\theta~d\theta~=~\frac{Z^2~e^4}{32\pi~\varepsilon_0~m^2~v^4}~\int_{\theta_m}^\pi\frac{\cos\cfrac{\theta}{2}}{\sin^3\cfrac{\theta}{2}}~~d\theta\qquad(13)\]

Le calcul ne sera pas détaillé et il faut noter que la vérification est excellente.

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