V. Propagation en milieux anisotropes

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Équations générales,structure de l'onde, équation de Fresnel. Axes optiques(milieux uniaxe et biaxe. Ellipsoïdes des indices, propriétés.

1. Équations générales de la propagation

Nous ferons la supposition que les milieux sont isotropes du point de vue magnétique, c’est à dire que \(\mu=\mu_0\).

Dans le cas d’un milieu isotrope, nous avions \(\overrightarrow{D}=\varepsilon~\overrightarrow{E}\) (colinéarité). Il n’en est plus de même dans un milieu anisotrope électriquement, la relation entre \(\overrightarrow{D}\) et \(\overrightarrow{E}\) dépendant de l’orientation de \(\overrightarrow{E}\).

Nous aurons alors la relation \(\overrightarrow{D}=||\varepsilon||~\overrightarrow{E}\) dans laquelle \(||\varepsilon||\) représente un tenseur : \[\left\{ \begin{aligned} D_x=\varepsilon_{xx}~E_x+\varepsilon_{xy}~E_y+\varepsilon_{xz}~E_z\\ D_y=\varepsilon_{yx}~E_x+\varepsilon_{yy}~E_y+\varepsilon_{yz}~E_z\\ D_z=\varepsilon_{zx}~E_x+\varepsilon_{zy}~E_y+\varepsilon_{zz}~E_z \end{aligned} \right.\]

En thermodynamique, on démontre que \[dW=\sum \overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dD}\]

est une différentielle exacte, ce qui amène une grande simplification, à savoir que, les axes de coordonnées étant convenablement choisis : \[D_x=\varepsilon_x~E_x\qquad;\qquad D_y=\varepsilon_y~E_y\qquad;\qquad D_z=\varepsilon_z~E_z\]

ces axes sont alors les axes de symétrie électrique du milieu anisotrope. Les coefficients \(\{\varepsilon_x,~\varepsilon_y,~\varepsilon_z\}\) sont alors les constantes diélectriques principales. On remarque que si \(\overrightarrow{E}\) est dirigé suivant l’un de ces axes, alors \(\overrightarrow{D}\) lui est parallèle.

1.1. Structure de l’onde électromagnétique

On fait l’hypothèse que le milieu n’est ni magnétique, ni conducteur. Les équations de Maxwell s’écrivent alors simplement :

\[\begin{aligned} \rm div\overrightarrow{D}&=0 &&\overrightarrow{\rm rot}E=-\mu~\frac{\partial\overrightarrow{H}}{\partial t}\\ \rm div\overrightarrow{H}&=0 &&\overrightarrow{\rm rot}H=\frac{\partial\overrightarrow{D}}{\partial t}\end{aligned}\]

On doit remarquer maintenant la différence avec les milieux isotropes : \[{\rm div}\overrightarrow{D}=\frac{\partial D_x}{\partial x}+\frac{\partial D_y}{\partial y}+\frac{\partial D_z}{\partial z}=0\]

Mais ici : \[\frac{1}{\varepsilon_x}~\frac{\partial D_x}{\partial x}+\frac{1}{\varepsilon_y}~\frac{\partial D_y}{\partial y}+\frac{1}{\varepsilon_z}~\frac{\partial D_z}{\partial z}={\rm div}\overrightarrow{E}\neq 0\qquad[\varepsilon_x\neq\varepsilon_y\neq\varepsilon_z]\]

Nous allons à présent démontrer, d’une façon beaucoup plus simple que pour les milieux isotropes, que les vecteurs \(\overrightarrow{D}\) et \(\overrightarrow{H}\) sont transversaux.

Le vecteur \(\overrightarrow{V}\) d’une onde plane sinusoïdale se propageant dans la direction \(\overrightarrow{k}\) est de la forme :

\[\begin{aligned} &V=V_0~\exp(j~\omega~t)~exp(-j~\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{OM})\\ &\overrightarrow{OM}\{x,y,z\}\quad;\quad \overrightarrow{k}\{\xi=\frac{2~\pi}{\lambda}~\alpha,~\eta=\frac{2~\pi}{\lambda}~\beta,~\zeta=\frac{2~\pi}{\lambda}~\gamma\}\end{aligned}\]

Pour les composantes de \(\overrightarrow{V}\) : \[V_x=V_{ox}~\exp(j~\omega~t)~\exp\big\{-j~\frac{2~\pi}{\lambda}~(\alpha~x+\beta~y+\gamma~z)\big\}\]

De sorte que : \[{\rm div}\overrightarrow{V}=\frac{\partial V_x}{\partial x}+\frac{\partial V_y}{\partial y}+\frac{\partial V_z}{\partial z}=-j~(\xi~V_x+\eta~V_y+\zeta~V_z)=-j~\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{V}\]

On a donc : \[{\rm div}\overrightarrow{V}=0\qquad\Rightarrow\qquad\overrightarrow{k}~\bot~\overrightarrow{V}\]

Et comme par ailleurs \({\rm div}\overrightarrow{D}=0\) et \({\rm div}\overrightarrow{H}=0\), on en conclut que ces vecteurs sont transversaux : \[\overrightarrow{H}~\bot~\overrightarrow{V}\quad\text{et}\quad\overrightarrow{D}~\bot~\overrightarrow{V}\]

En choisissant le vecteur \(\overrightarrow{H}\) comme axe des \(y\), le vecteur \(\overrightarrow{V}\) comme axe des \(z\) et en étudiant la relation : \[\overrightarrow{\rm rot}H=\frac{\partial\overrightarrow{D}}{\partial t}\]

on démontre exactement comme pour les milieux isotropes que : \[\overrightarrow{H}\bot\overrightarrow{D}~~\text{et}~~D_x=\frac{1}{v}~H_y \quad (\overrightarrow{H}\text{ et }\overrightarrow{D}\text{ sont donc en phase).}\]

Les vecteurs \([\overrightarrow{D},~\overrightarrow{H},~\overrightarrow{V}]\) forment par ailleurs un trièdre trirectangle.

Si l’on avait pris la relation : \[\overrightarrow{\rm rot}E=-\mu~\frac{\partial\overrightarrow{H}}{\partial t}\]

on aurait démontré que \(\overrightarrow{E}~\bot~\overrightarrow{H}\) et que ces deux vecteurs sont en phase.

On voit que \(\overrightarrow{E}\in(\pi)\) et que le vecteur de Poynting \(\overrightarrow{P}=\overrightarrow{E}\wedge\overrightarrow{H} \) est également situé dans le plan \((\pi)\).

Remarque

\(V\) est la vitesse de propagation normale, la vitesse de propagation de l’énergie est \(V'=\cfrac{V}{\cos\theta}\). C’est une vitesse radiale alors que \(V\) est une vitesse normale.

1.2. Équation de Fresnel

Revenons aux équations de Maxwell : \[\overrightarrow{\rm rot}E=-\mu~\frac{\partial\overrightarrow{H}}{\partial t}\quad;\quad\ \overrightarrow{\rm rot}H=-\mu~\frac{\partial\overrightarrow{D}}{\partial t}\]

On a : \[\overrightarrow{\rm rot}(\overrightarrow{\rm rot}E)=-\overrightarrow{\rm rot}\Big(\mu~\frac{\partial\overrightarrow{H}}{\partial t}\Big)=-\mu~\frac{\partial}{\partial t}(\overrightarrow{\rm rot}H)=-\mu~\frac{\partial^2D}{\partial t^2}\]

En appliquant la relation : \[\overrightarrow{\rm rot}(\overrightarrow{\rm rot})=\overrightarrow{\rm grad}(\rm div)-\Delta\]

il vient, avec l’hypothèse \(\mu=\mu_0\) : \[\Delta\overrightarrow{E}-\overrightarrow{\rm grad}({\rm div}\overrightarrow{E})= \mu_0~\frac{\partial^2D}{\partial t^2}\]

En projection sur l’axe \(Ox\), nous obtenons l’équation (1) : \[\Big[\frac{\partial^2E_x}{\partial x^2}+\frac{\partial^2E_y}{\partial y^2}+\frac{\partial^2E_z}{\partial z^2}\Big]-\frac{\partial}{\partial x}\Big[\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z}\Big]=\mu_0~\frac{\partial^2D_x}{\partial t^2}\]

On se place dans le cas des solutions classiques de \(\overrightarrow{E}\) et \(\overrightarrow{D}\) en adoptant la modification d’écriture suivante : \[\overrightarrow{u}(\alpha,~\beta,~\gamma)\quad\Rightarrow\quad\overrightarrow{k}=\frac{2~\pi}{\lambda}~\overrightarrow{u}=\frac{2~\pi}{\nu~T}~\overrightarrow{u}=\frac{\omega}{\nu}~\overrightarrow{u}\]

D’où les formes :

\[\begin{aligned} \overrightarrow{E}=\overrightarrow{E_0}~\exp\Big\{j~\omega~\Big(t-\frac{\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{OM}}{v}\Big)\Big\}\\ \overrightarrow{D}=\overrightarrow{D_0}~\exp\Big\{j~\omega~\Big(t-\frac{\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{OM}}{v}\Big)\Big\}\end{aligned}\]

Calculons les deux termes entre crochets de l’équation (1) ci-dessus, avec : \[E_x=E_{ox}~\exp\Big\{j~\omega~\Big(t-\frac{\alpha~x+\beta~y+\gamma~z}{v}\Big)\Big\}\]

Le premier crochet est réduit à : \( [1]=\cfrac{\omega^2}{v^2}~E_x\), car \(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=1\).

Dans le deuxième crochet, on reconnaît le produit scalaire (calcul déjà fait) : \[{\rm div}\overrightarrow{E}-j~\frac{\omega}{v}~(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{E})\quad;\quad \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{E}=\alpha~E_x+\beta~E_y+\gamma~E_z\]

Ainsi : \[\frac{\partial}{\partial x}(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{E})=-j~\frac{\omega}{v}~\alpha~(\alpha~E_x+\beta~E_y+\gamma~E_z)=-j~\frac{\omega}{v}~\alpha~\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{E}\]

Par suite : \[-\frac{\partial}{\partial x}[2]=\alpha~\frac{\omega^2}{v^2}~\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{E}\]

Par ailleurs : \[\mu_0~\frac{\partial^2D_x}{\partial t^2}=-\mu_0~\omega^2~D_x\]

On a donc : \[\mu_0~\overrightarrow{D}=\frac{1}{v^2}~\{\overrightarrow{E}-\overrightarrow{u}\cdot(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{E})\}\]

qui donne, en projetant sur les axes : \[\mu_0~D_x=\frac{1}{v^2}~\{E_x-\alpha~(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{E})\} \quad;\quad\text{etc.}\]

On sait par ailleurs que : \[E_x=\frac{D_x}{\varepsilon_x}\quad;\quad\text{etc.} \qquad\text{et}\qquad v_x^2=\frac{1}{\mu_0~\varepsilon_x}\quad;\quad\text{etc.}\]

\(\{v_x,~v_y,~v_z\}\) sont dites vitesses principales : c sont celles des ondes planes qui se propagent suivant l’un des trois axes principaux.

On obtient ainsi : \[D_x=\frac{\alpha~(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{E})}{\mu_0~(v_x^2-v^2)}\quad;\quad\text{etc.}\]

Écrivons enfin que le vecteur \(\overrightarrow{D}\) est transversal (\(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{D}=0\)) : \[\frac{\alpha^2}{v^2-v_x^2}+\frac{\beta^2}{v^2-v_y^2}+\frac{\gamma^2}{v^2-v_z^2}=0\]

Il s’agit de l’équation de Fresnel ; elle permet de calculer la vitesse normale \(\overrightarrow{v}\) dans la direction \(\overrightarrow{u}(\alpha,~\beta,~\gamma)\) en fonction de \((\alpha,~\beta,~\gamma)\) et des vitesses principales qui sont des paramètres du milieu. Cette équation peut encore être transformée en se souvenant que : \[n=\frac{c}{v}\quad;\quad n_x=\frac{c}{v_x}\]

On obtient ainsi : \[\frac{n_x^2~\alpha^2}{n^2-n_x^2}+\frac{n_y^2~\beta^2}{n^2-n_y^2}+\frac{n_z^2~\gamma^2}{n^2-n_z^2}=0\]

Remarque

L’équation de Fresnel est du second degré en \(v^2\) et on peut montrer facilement qu’elle admet deux racines réelles et positives en \(v^2\). Pour chaque direction de propagation \(\overrightarrow{u}\), il y a deux vitesses distinctes \(v',~v"\) (en réalité \(\pm v',~\pm v"\), le signe [–] signifiant seulement que les deux sens sont possibles).

À chaque vitesse correspond un ensemble (\(D_x,~D_y,~D_z\)), c’est-à-dire une orientation donnée pour \(\overrightarrow{D}\) (ou encore un plan de polarisation). Si \(\overrightarrow{u}\) coïncide avec l’un des axes principaux, la vitesse est égale à la vitesse principale correspondante.

2. Axes optiques. Milieux uniaxes et bi-axes

L’équation précédente peut avoir une racine double en \(v^2\) si \(\alpha,~\beta,~\gamma\) sont bien choisis. On montre que cela se produit pour : \[\alpha^2=\frac{v_x^2-v_y^2}{v_x^2-v_z^2}\quad;\quad\beta^2=0\quad;\quad\gamma^2=\frac{v_y^2-v_z^2}{v_x^2-v_z^2}\qquad(v_x>v_y>v_z)\]

Il y a donc en général deux directions \(\{\alpha,~0,~-\beta\}\) et \(\{-\alpha,~0,~\beta\}\) pour lesquelles \(v'=v"\). Ces directions sont les axes optiques du milieu et on voit qu’elles ont une disposition symétrique par rapport aux axes principaux.

Dans le cas particulier où par exemple \(\varepsilon_x=\varepsilon_y\neq\varepsilon_z\), les deux axes optiques se confondent entre eux et avec l’axe principal suivant lequel la constante diélectrique est différente des autres.

Ces milieux, très nombreux, sont dits uniaxes alors que les autres sont biaxes. Si \(\varepsilon_x=\varepsilon_y=\varepsilon_z\), alors le milieu est isotrope. Nous ne traiterons désormais que des milieux uniaxes.

3. Ellipsoïde des indices

On a trouvé précédemment que : \[D_x=\frac{\alpha~\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{E})}{\mu_0~(v_x^2-v^2)}\qquad\Rightarrow\qquad \alpha=\frac{\mu_0~D_x}{\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{E}}~(v_x^2-v^2)\]

Or : \[v^2=\frac{c^2}{n^2}\quad;\quad v_x^2=\frac{c^2}{n_x^2}\]

Donc, si on pose : \[k=\frac{\mu_0~c^2}{\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{E}}\]

on pourra écrire : \[\alpha=k~D_x~\Big(\frac{1}{n_x^2}-\frac{1}{n^2}\Big)~~;~~ \beta=k~D_y~\Big(\frac{1}{n_y^2}-\frac{1}{n^2}\Big)~~;~~ \gamma=k~D_z~\Big(\frac{1}{n_z^2}-\frac{1}{n^2}\Big)\]

Par ailleurs : \[\overrightarrow{u}~\bot~\overrightarrow{D}\quad\Rightarrow\quad \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{D}=\alpha~D_x+\beta~D_y+\gamma~D_z=0\]

C’est à dire : \[\frac{D_x^2}{n_x^2}+\frac{D_y^2}{n_y^2}+\frac{D_z^2}{n_z^2}=\frac{D^2}{n^2}\]

Si l’on porte sur \(\overrightarrow{D}\) une longueur \(OM=n\), on aura dans un système \(\{D_x,~D_y,~D_z\}\) : \[\frac{x^2}{n_x^2}+\frac{y^2}{n_y^2}+\frac{z^2}{n_z^2}=1\qquad\text{car :}\quad \overrightarrow{OM}^2=x^2+y^2+z^2\]

Il s’agit bien de l’équation d’un ellipsoïde dont les trois axes sont en général inégaux.

Dans le cas des milieux uniaxes : \[n_x=n_y\quad\text{car :}~~n_x=\sqrt{\frac{\varepsilon_x}{\varepsilon_0}}~~,~~n_y=\sqrt{\frac{\varepsilon_y}{\varepsilon_0}}~~~~\text{et}~~~~\varepsilon_x=\varepsilon_y\]

On a alors : \[\frac{x^2+y^2}{n_x^2}+\frac{z^2}{n_z^2}=1\]

Propriétés de l’ellipsoïde

L’équation de l’ellipsoïde est de la forme \(f(x,~y,~z)=0\) et \(\overrightarrow{OM}(x,~y,~z)\) est un rayon vecteur de cet ellipsoïde.

La normale en \(M\) à cette surface a pour composantes \(\{f'_x,~f'_y,~f'_z\}\), c’est à dire : \[\overrightarrow{\eta}~\{\frac{2~x}{n_x^2},~\frac{2~y}{n_y^2},~\frac{2~z}{n_z^2}\Big\}\]

\(M\) est pris sur \(\overrightarrow{D}\) de sorte que \(\overrightarrow{D}=k~\overrightarrow{OM}\).

Donc, la normale a pour coefficients directeurs : \[\Big\{\frac{D_x}{n_x^2},~\frac{D_y}{n_y^2},~\frac{D_z}{n_z^2}\Big\}~~\rightarrow~~\Big\{\frac{D_x}{\varepsilon_x},~\frac{D_y}{\varepsilon_y},~\frac{D_z}{\varepsilon_z}\Big\}~~\rightarrow~~\{E_x,~E_y,~E_z\}\]

Ainsi, la direction de la normale en M à l’ellipsoïde est donc celle du champ électrique.

Supposons l’ellipsoïde \([E]\) donné et \(M\in[E]\). \(\overrightarrow{D}\) est porté par \(OM\) et \(\overrightarrow{E}\) est porté par la normale à \([E]\) : \(\overrightarrow{H}~\bot~\overrightarrow{D}\), donc \(\{\overrightarrow{D},~\overrightarrow{H},~\overrightarrow{v}\}\) est un trièdre direct.

Le plan d’onde est le plan \((\overrightarrow{D},\overrightarrow{H})\) qui donne une ellipse \(MM'\) avec l’ellipsoïde.

Enfin, on déduit le vecteur de Poynting \(\overrightarrow{P}~\bot~\overrightarrow{E}\) est situé dans le plan (\(\overrightarrow{D},~\overrightarrow{E})\).

Si l’intersection du plan d’onde avec \([E]\) est un cercle, toutes les directions \(\overrightarrow{D}\) de ce plan sont privilégiées. La direction de propagation à laquelle correspond un cercle sera dite axe optique du cristal.

Un ellipsoïde possède deux plans de section circulaire non parallèles, d’où en général deux axes optiques pour le cristal qui est alors dit biaxe.

Si l’ellipsoïde est de révolution, on a une infinité de plans de section circulaire, mais parallèles entre eux ; le milieu est alors uniaxe.

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