VII. Équation des cordes vibrantes

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Établissement de l'équation des cordes vibrantes. Le problème des conditions initiales. Propagation d'un ébranlement. Méthode de Bernouilli.

1. Établissement de l’équation

L’équation des cordes vibrantes est l’équation fondamentale pour tout phénomène physique de propagation.

– Le poids de la corde est négligé, mais pas sa masse.

– On suppose que la corde est sans raideur, c’est-à-dire que le module de la tension est constant le long de la corde.

– On suppose petite l’amplitude des mouvements (donc les angles).

– On désigne par \(m\) la masse par unité de longueur.

On a donc :

\[\begin{aligned} &y(x,~t)\quad;\quad\gamma=\frac{\partial^2y}{\partial t^2}\\ &m~\gamma=\mu~dx~\frac{\partial y}{\partial t^2}=T_1-T_2\approx T~(\alpha'-\alpha)\end{aligned}\]

Les deux angles, associés aux tangentes représentent des pentes et en appliquant le théorème des accroissements finis : \[y~\alpha=\frac{\partial y}{\partial x}\quad;\quad\alpha'=\alpha+\frac{\partial}{\partial x}\Big(\frac{\partial y}{\partial x}\Big)~dx\]

Par suite : \[\mu~dx~\frac{\partial^2y}{\partial t^2}=T~\frac{\partial^2y}{\partial x^2}\quad\Rightarrow\quad\frac{\partial^2y}{\partial t^2}=\frac{T}{\mu}~\frac{\partial^2y}{\partial x^2}\]

Ce qui peut encore s’écrire : \[\frac{\partial^2y}{\partial t^2}=\frac{T}{\mu}~\frac{\partial^2y}{\partial x^2}=\frac{1}{a^2}~\frac{\partial^2y}{\partial x^2}\quad;\quad a=\sqrt{\frac{\mu}{T}}\]

En considérant le paramètre \(r=\pm(1/a)\), solution de l’équation caractéristique, on aboutit à la solution superposition de deux ondes aller - retour : \[y(x,~t)=\varphi(x+a~t)+\psi(x-a~t)\]

Il faut adapter cette solution générale aux conditions initiales et aux conditions aux limites :

  • initiales : forme de la corde, état des vitesses à l’instant \(t=0\) ;

  • limites : points \(A\) et \(B\) au repos quelque soit \(t\).

2. Problème des conditions initiales

Pour \(t=0\), on se donne :

  • la forme de la corde : \(~y(x,~0)=g(x)\)

  • les vitesses : \(\quad\qquad\cfrac{\partial y}{\partial t}(x,~0)=h(x)\)

On doit donc écrire que :

\[\begin{aligned} \varphi(x)+\psi(x)&=g(x)\\ a~\varphi'(x)-a~\psi'(x)&=h(x)\quad\Rightarrow\quad a~\{\varphi(x)-\psi(x)\}=\int_0^x h(s)~ds\end{aligned}\]

En faisant la somme et la différence des deux expressions, il vient :

\[\begin{aligned} &\varphi(x)=\frac{1}{2}~\{g(x)+\frac{1}{a}\int_0^x h(s)~ds\}\\ &\psi(x)=\frac{1}{2}~\{g(x)-\frac{1}{a}\int_0^x h(s)~ds\}\end{aligned}\]

Dans l’hypothèse où la corde initialement au repos est abandonnée sans vitesse initiale : \[\varphi(x)=\psi(x)=\frac{1}{2}~g(x)\]

3. Propagation d’un ébranlement

La solution pour la propagation d’un ébranlement est du type : \[y(x,~t)=\varphi(x+c~t)+\psi(x-c~t)\]

Elle convient à la propagation du son, de la lumière, etc., le terme \(c\) étant la vitesse de propagation. L’onde \(\varphi\) se déplace vers la droite et l’onde \(\psi\) vers la gauche.

Étudions à présent le problème de la réflexion pour une onde se déplaçant entre les points d’abscisse \(0\) et \(l\). Nous allons mettre en évidence la périodicité et le changement de signe à la réflexion.

On suppose que (conditions aux limites) : \[y(0,~t)=0\quad;\quad y(l,~t)=0\]

Adoptant la solution générale :

\[\begin{aligned} &\varphi(a~t)+\psi(-a~t)=0\\ &\varphi(l+a~t)+\psi(l-a~t)=0\end{aligned}\]

Posons : \[a~t=u\quad;\quad l-a~t=v\]

On a alors :

\[\begin{aligned} &\varphi(u)+\psi(-u)=0\\ &\varphi(2~l+v)+\psi(-v)=0\end{aligned}\]

Faisant \(u=v\) : \[\varphi(u)=\varphi(2~l+u)\quad\Rightarrow\quad\varphi~\text{périodique }~2~l\]

On démontrerait de même que : \[\psi(u)=\psi(2~l+u)\quad\Rightarrow\quad\psi~\text{périodique }~2~l\]

Partant maintenant de la forme générale : \[\varphi(a~t)+\psi(-a~t)=0\qquad\text{soit~:}\quad\varphi(x)+\psi(-x)=0\]

Sachant que : \[\varphi(x)=\psi(x)=\frac{1}{2}~g(x)\]

on en déduit que : \[\varphi(x)=-\psi(-x)=0\]

ce qui montre bien qu’il y a changement de signe à la réflexion.

4. Méthode de Bernouilli

La méthode de Bernouilli est beaucoup plus physique. On part donc de l’équation de propagation : \[\frac{\partial^2y}{\partial t^2}=\frac{1}{c^2}~\frac{\partial^2y}{\partial x^2}\]

avec les conditions initiales : \[y(x,~0)=g(x)\quad;\quad\frac{\partial y}{\partial t}(x,~0)=h(x)\]

et les conditions aux limites : \[y(0,~t)=0\quad;\quad y(l,~t)=0\]

La recherche des solutions élémentaires se fait par séparation des variables. C’est à dire que l’on pose : \[y(x,~t)=X(x)~T(t)\]

On obtient alors : \[\frac{\partial^2y}{\partial t^2}=X~T''\quad\text{et}\quad\frac{\partial^2x}{\partial t^2}=T~X''\]

Et en revenant à l’équation de départ : \[\frac{X''}{X}=\frac{1}{c^2}~\frac{T''}{T}\]

Cette relation doit être vraie quelque soient \(x\) et \(t\) . C’est une constante que l’on posera égale à \((-\beta^2)\). Il y a séparation des variables :

\[\begin{aligned} X''+\beta^2~X=0 &\quad\Rightarrow\quad X= \begin{Bmatrix} sin\\ cos \end{Bmatrix} \beta~x \\ T''+c^2~\beta^2~T=0 &\quad\Rightarrow\quad T= \begin{Bmatrix} sin\\ cos \end{Bmatrix} c~\beta~t\end{aligned}\]

D’où la solution très particulière : \[y(x,~t)= \begin{Bmatrix} sin\\ cos \end{Bmatrix} \beta~x~~ \begin{Bmatrix} sin\\ cos \end{Bmatrix} c~\beta~t\]

4.1. Adaptation aux conditions aux limites

Nous avons aux limites :

\[\begin{aligned} y(0,~t)=0\quad&\Rightarrow\quad\sin\beta~x~~ \begin{Bmatrix} sin\\ cos \end{Bmatrix} c~\beta~t \\ y(l,~t)=0\quad&\Rightarrow\quad\sin\beta~l=0\quad;\quad\beta=\frac{k~\pi}{l}\end{aligned}\]

Les solutions particulières sont alors : \[y(x,~t)=\sin\frac{k~\pi}{l}~x~~ \begin{Bmatrix} sin\\ cos \end{Bmatrix} k~\frac{c~\pi}{l}~t\]

Quelle est la signification physique de \(\beta\) ?

Quand une corde vibre, elle peut présenter 1, 2..., \(k\) fuseaux (si elle est attachée aux deux bouts). La distance entre deux nœuds est \(l=k~\lambda/2\), or \(\beta=k~\pi/l\), c’est-à-dire \(\beta=2~\pi/\lambda\) et on reconnaît le nombre d’onde.

4.2. Adaptation aux conditions initiales

Une somme de combinaisons linéaires de solutions particulières doit satisfaire aux conditions initiales.

On écrit :

\[\begin{aligned} y(x,~t)=\sum_{k=l}^{\infty}B_k~\sin\frac{k~\pi}{l}~x~~\sin\frac{k~c\pi}{l}~t\\ +\sum_{k=l}^{\infty}C_k~\sin\frac{k~\pi}{l}~x~~\cos\frac{k~c~\pi}{l}~t\end{aligned}\]

et il faut déterminer les constantes \(B\) et \(C\).

Si l’on fait \(t=0\), il vient : \[g(x)=\sum_{k=1}^{\infty}C_k~\sin\frac{k~\pi}{l}~x\]

On reconnaît immédiatement les coefficients de série de Fourier et comme \(g(x)\) est connue : \[C_k=\frac{2}{l}\int_0^lg(x)~\sin\frac{k~\pi~x}{c}~dx\]

On a alors :

\[\begin{aligned} h(x)=\Big(\frac{\partial y}{\partial t}\Big)_{x,~0}=\sum_{k=1}^{\infty}B_k~\frac{kc\pi}{l}~\sin\frac{k~\pi}{l}~x =\frac{c~\pi}{l}~\sum_{k=1}^{\infty}k~B_k~\sin\frac{k~\pi}{l}~x\end{aligned}\]

Et en fin de compte : \[h~B_k=\frac{2}{l}~\int_0^l h(x)~\sin\frac{k~\pi}{l}~x~dx\]

\(C_k\) et \(B_k\) sont les coefficients de l’harmonique de rang \(k\), sachant que la valeur \(k=1\) correspond à la fondamentale.

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