IX. Électromagnétisme relativiste

Première partie

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Rappels mathématiques et principes fondamentaux de l’analyse tensorielle.

1. Rappels mathématiques. Tenseurs

Soit un espace vectoriel \(E_n\). On connaît les formules de changement de base : \[\overrightarrow{e}_i=A_i^{j'}~\overrightarrow{e_{j'}}\]

Un vecteur \(\overrightarrow{V}\) est caractérisé par ses composantes \(x^i\) ou \(x^{j'}\) : \[x^i=A^i_{j'}~x^{j'}\]

Un tenseur \(T\) est défini par ses composantes \(t^{ij}\) (contravariantes) et \(t_{ij}\) (covariantes). On peut écrire dans chaque base : \[t^{ij}=A_{k'}^i~A_{l'}^j~t^{k'l'}\] \[t_ij = A_i^{k'}~A_j^{l'}~t_{k'l'}\]

Deux tenseurs seront intéressants et utiles : le tenseur symétrique et le tenseur antisymétrique.

Considérons le tenseur symétrique (\(t^{ij}=t^{ji}\)) et examinons ce qui se passe dans un changement de base :

\[\begin{aligned} t^{k'l'}&=A_i^{k'}~A_j^{l'}~t^{ij} \\ t^{l'k'}&= A_i^{l'}~A_j^{k'}~t^{ij} = A_j^{l'}~A_i^{k'}~t^{ji}\end{aligned}\]

Donc : \[t^{ij}=t^{ji}\quad\Rightarrow\quad t^{k'l'}=t^{l'k'}\]

On obtient un résultat analogue avec le tenseur antisymétrique \((t^{ij}=-t^{ji})\).

2. Équations de Maxwell

2.1. Rappel des équations

\[\left\{ \begin{aligned} &\overrightarrow{{\rm rot}~E}+\frac{\partial{\overrightarrow B}}{\partial t}=\overrightarrow{0} \\ &{\rm div}\overrightarrow{B}=\overrightarrow{0} \end{aligned} \right.\] \[\left\{ \begin{aligned} &\overrightarrow{{\rm rot}~H}-\frac{\partial{\overrightarrow D}}{\partial t}=\overrightarrow{0}=\overrightarrow{J}=\rho~\overrightarrow{v} \\ &{\rm div}\overrightarrow{D}=\rho \end{aligned} \right.\]

On remarque que : \[\frac{\partial\overrightarrow{D}}{\partial t}=\overrightarrow{0}\quad\rightarrow\quad \overrightarrow{{\rm rot}~H}=\overrightarrow{j}\]

On retrouve le théorème d’Ampère.

On suppose que les charges se déplacent dans le vide. On a donc : \[\overrightarrow{B}=\mu_0~\overrightarrow{H}\quad;\quad\overrightarrow{D}=\varepsilon_0~\overrightarrow{E}\quad;\quad \mu_0~\varepsilon_0~c^2=1\qquad\text{équation de liaison}\]

On peut transformer ces relations. En effet : \[{\rm div}\overrightarrow{B}=0\quad\Rightarrow\quad\exists~\overrightarrow{A}~~\text{tel\ que}~~\overrightarrow{B}=\overrightarrow{{\rm rot}~A}\]

On peut donc écrire : \[\overrightarrow{{\rm rot}~E}+\frac{\partial}{\partial t}(\overrightarrow{{\rm rot}~A})=\overrightarrow{0}\]

Par suite : \[\overrightarrow{\rm rot}\Big(\overrightarrow{E}+\frac{\partial\overrightarrow{A}}{\partial t}\Big)=\overrightarrow{0}\]

Ce qui donne : \[\overrightarrow{E}+\frac{\partial\overrightarrow{A}}{\partial t}=-\overrightarrow{\rm grad}(V)\]

En définitive : \[\overrightarrow{E}=-\frac{\partial\overrightarrow{A}}{\partial t}-\overrightarrow{\rm grad}(V) \quad;\quad\overrightarrow{B}=\overrightarrow{{\rm rot}~A}\]

On définira les relations \((\overrightarrow{E},~\overrightarrow{B})\) et \((\overrightarrow{D},~\overrightarrow{H})\) par 6 quantités qui pourront être les composantes d’un tenseur antisymétrique dans \(E_n\), avec \(t^{\alpha\beta}=-t^{\beta\alpha}\). On peut écrire en particulier : \(t^{ii}=-t^{ii}\), ce qui entraine logiquement \(t^{ii}=0\). Les éléments diagonaux sont nuls et de part et d’autre de la diagonale, les éléments sont antisymétriques : \[\begin{pmatrix} t^{00}&t^{01}&t^{02}&t^{03}\\ t^{10}&t^{11}&t^{12}&t^{33}\\ t^{20}&t^{21}&t^{22}&t^{23}\\ t^{30}&t^{31}&t^{32}&t^{33} \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 0&t^{01}&t^{02}&t^{03}\\ -t^{01}&0&t^{12}&t^{33}\\ -t^{02}&-t^{12}&0&t^{23}\\ -t^{03}&-t^{13}&-t^{23}&0 \end{pmatrix}\]

2.2. Tenseur antisymétrique (\(\vec{E},~\vec{B}\))

Considérons un repère galiléen \((\overrightarrow{e_0},~\overrightarrow{e_1},~\overrightarrow{e_2},~\overrightarrow{e_3})\) dans l’espace de Minkowski ; \(\overrightarrow{e_0}\) est orienté vers le futur. On pose : \[\varphi_0=-V\quad;\quad\varphi_i=c~A_i\]

\(\varphi\) est appelé quadrivecteur de l’espace-temps.

Reprenons la relation : \[E_i=-\frac{\partial A_i}{\partial t}-\frac{\partial V}{\partial x_i}\]

Adoptons l’écriture : \[\frac{\partial V}{\partial x_i}={\partial_iV}\]

On aura ainsi : \[x^0=c~t\quad;\quad\frac{\partial}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x^0}~\frac{\partial x^0}{\partial t} = c~\frac{\partial}{\partial x^0}=c~\partial_0\]

Pour les composantes de \(\overrightarrow{E}\) : \[E_i=-c~\partial_0A_i-{\partial_iV}=-\partial_0\varphi_i+\partial_i\varphi_0\]

Ou, écrit autrement : \[E_i=\partial_i\varphi_0 -\partial_0\varphi_i\]

Pour les composantes de \(\overrightarrow{B}\) : \[B_x=\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z}\]

On peut donc écrire : \[B_i=\partial_jA_k-\partial_kA_j\]

Ou, écrit autrement : \[c~B_i=\partial_j\varphi_k-\partial_k\varphi_j\]

2.3. Caractéristiques du tenseur \(F^0\)

On considère la forme : \[F_{\alpha\beta}=\partial_{\alpha}\varphi_{\beta}-\partial_{\beta}\varphi_{\alpha}\]

C’est-à-dire : \[F_{\alpha\beta} = \frac{\partial\varphi_{\beta}}{\partial x^{\alpha}}-\frac{\partial\varphi_{\alpha}}{\partial x^{\beta}}\]

a) Commençons par vérifier qu’il s’agit d’un tenseur, c’est-à-dire qu’il se conserve dans un changement de repère : \[F_{\alpha\beta} = \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}}\varphi_{\beta}-\frac{\partial}{\partial x^{\beta}}\varphi_{\alpha}\]

On peut écrire : \[\varphi_{\beta}=A_{\beta}^{\gamma'}~\varphi_{\gamma'}\]

On a donc : \[F_{\alpha\beta} = \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}}(A_{\beta}^{\gamma'}~\varphi_{\gamma'}) -\frac{\partial}{\partial x^{\beta}}(A_{\alpha}^{\rho'}~\varphi_{\rho'})\] \[F_{\alpha\beta}=A_{\beta}^{\gamma'}~\frac{\partial}{\partial x^{\alpha}}\varphi_{\gamma'} -A_{\alpha}^{\rho'}~\frac{\partial}{\partial x^{\beta}}\varphi_{\rho'}\]

Ou encore : \[F_{\alpha\beta} = A_{\beta}^{\gamma'}~\Big(\frac{\partial}{\partial x^{\lambda'}}\varphi_{\lambda'}\Big)~\frac{\partial x^{\lambda'}}{\partial x^{\alpha}} -A_{\alpha}^{\rho'}~\Big(\frac{\partial}{\partial x^{\rho'}}\varphi_{\rho'}\Big)~\frac{\partial x^{\rho'}}{\partial x^{\beta}}\]

Posant \( x^{\lambda'}=A_{\alpha}^{\lambda'}~x^{\alpha} \), il vient : \[F_{\alpha\beta} = A_{\beta}^{\gamma'}~A_{\alpha}^{\lambda'}~\partial_{\lambda'} \varphi_{\lambda'} -A_{\alpha}^{\rho'}~A_{\beta}^{\lambda'}~\partial_{\lambda'} \varphi_{\rho'}\]

Par suite : \[F_{\alpha\beta}=A_{\alpha}^{\lambda'}~A_{\beta}^{\gamma'}~\partial_{\lambda'}\varphi_{\gamma'} -A_{\alpha}^{\lambda'}~A_{\beta}^{\gamma'}~\partial_{\lambda'}\varphi_{\lambda'} = A_{\alpha}^{\lambda'}~A_{\beta}^{\gamma'}~F_{\lambda'\gamma'}\]

b) Reprenons la relation : \( F_{\alpha\beta}=\partial_{\alpha}\varphi_{\beta}-\partial_{\beta}\varphi_{\alpha} \)

\[\left\{ \begin{array}{r c l} F_{10} = \partial_1\varphi_0-\partial_0\varphi_1 = E_1\\ F_{20} = \partial_2\varphi_0-\partial_0\varphi_2 = E_2\\ F_{30} = \partial_3\varphi_0-\partial_0\varphi_3 = E_3 \end{array} \right. \ \ \ \ \left\{ \begin{array}{r c l} F_{23} = \partial_2\varphi_3-\partial_3\varphi_2 = c~B_1\\ F_{31} = \partial_3\varphi_1-\partial_1\varphi_3 = c~B_2\\ F_{12} = \partial_1\varphi_2-\partial_2\varphi_1 = c~B_3 \end{array} \right.\]

C’est-à-dire : \[F_{i0}=E_i\quad;\quad F_{jk}=c~B_i\]

c) Les trois équations de Maxwell peuvent être exprimées au moyen de ce tenseur. Rappelons les notations :

\[\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial t}=c~\partial_0\quad&\rightarrow\quad\frac{\partial}{\partial x_i}=\partial_i \\ \overrightarrow{\rm rot}\Big(\overrightarrow{E}+\frac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial t}\Big)=\overrightarrow{0}\quad&\rightarrow\quad\partial_jE_k-\partial_kE_j+\frac{\partial B_i}{\partial t}=0 \\ {\rm div}(\overrightarrow{B})=0\quad&\rightarrow\quad\partial_1B_1+\partial_2B_2+\partial_3B_3=0\end{aligned}\]

On peut donc dire que toutes les équations de Maxwell sont contenues dans l’équation suivante : \[\partial_{\alpha}F_{\beta\gamma}+\partial_{\beta}F_{\gamma\alpha}+\partial_{\gamma}F_{\alpha\beta}=0\]

C’est une invariante.

2.4. Tenseur adjoint

Le tenseur adjoint est le tenseur \(F^*\) tel que : \[F^{*\alpha\beta}=\frac{1}{2}~\eta^{\alpha\beta\gamma\delta}~F_{\gamma\delta} =\frac{1}{\sqrt{-g}}~\varepsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}~F_{\gamma\delta}\]

  • \(\varepsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}=+1\) si \([\alpha\beta\gamma\delta]\) permutation paire de [1, 2, 3, 4] ;

  • \(\varepsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}=-1\) si \([\alpha\beta\gamma\delta]\) permutation impaire de [1, 2, 3, 4] ;

  • \(\varepsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}=1\) dans tous les autres cas.

\(g\) détermine la métrique ; \(\sqrt{-g}=+1\) dans un repère galiléen.

\[F^{*10}=\frac{1}{2}~\varepsilon^{10\gamma\delta}~F_{\gamma\delta}= \frac{1}{2}~\varepsilon^{1023}~F_{23}+\frac{1}{2}~\varepsilon^{1032}~F_{32}= \frac{1}{2}~\varepsilon^{1023}~F_{23}-\frac{1}{2}~\varepsilon^{1032}~F_{32}=F_{23}\]

D’une manière générale: : \[F^{*10}=\varepsilon^{1023}~F_{23}=F_{23}=cB_1\quad;\quad F^{*20}=F_{31}=c~B_2\quad;\quad F^{30}=F_{12}=c~B_3\] \[F^{*12}=F_{30}=E_3\quad;\quad F^{*31}=F_{20}=E_2\quad;\quad F^{*23}=F_{10}=E_1\]

En résumé : \[F^{*i0}=c~B_i\quad;\quad F^{*jk}=E_i\]

Reprenons les équations : \[\partial_jF_{k0}+\partial_kF_{0j}+\partial_0F_{jk}=0\quad\text{ou encore}\quad\partial_1F_{20}+\partial_2F_{01}+\partial_3F_{12}=0\] \[\partial_1B_1+\partial_2B_2+\partial_3B_3=0\quad\text{ou encore}\quad\partial_1F^{*31}+\partial_2F^{*32}+\partial_0F^{*30}=0\]

En tenant compte du fait que \(F^{*33}=0\) :

\[\begin{aligned} &\partial_1F^{*31}+\partial_2F^{*32}+\partial_3F^{*33}+\partial_0F^{*30}=0 \\ &\partial_{\alpha}F^{*3\alpha}=0 \\ &\partial_{\alpha}F^{*i\alpha}=0 \\ &\partial_1F^{*01}+\partial_2F^{*02}+\partial_3F^{*03}=0\quad\text{ou}\quad\partial_{\alpha}F^{*0\alpha}=0 \end{aligned}\]

D’où la forme générale : \[\partial_{\alpha}F^{*3\alpha}=0\]

C’est l’équation de Maxwell dans un repère galiléen. Dans un repère quelconque : \[\nabla_{\alpha}F^{*\beta\alpha}=0\]

2.5. Tenseur \((\vec{D},~\vec{H})\)

Rappelons les équations utilisées : \[\overrightarrow{{\rm rot}~H}-\frac{\partial\overrightarrow{D}}{\partial t}=\overrightarrow{J}=\rho~\overrightarrow{v}\] \[{\rm div}\overrightarrow{D}=\rho\]

Le tenseur antisymétrique associé est \(f\). On pose : \[H_1=f_{23}\quad;\quad H_2=f_{31}\quad;\quad H_3=f_{12}\] \[c~D_1=f_{10}\quad;\quad c~D_2=f_{20}\quad;\quad c~D_3=f_{30}\]

Donc : \[f^i=-f_i\quad;\quad f^{ik}=-f_{ik}\]

On définit un quadrivecteur « courant » \(J\) tel que : \[j^0=\rho~c\quad;\quad j^i=j_i(j_x,~j_y,~j_z)\]

La première équation s’écrit : \[\partial_jH_k-\partial_kH_j-c~\partial_0D_i=J^i\] \[\partial_jf_{ji}-\partial_kf_{ki}-\partial_0f_{i0}=J^i\] \[\partial_if_{ij}-\partial_kf^{ik}-\partial_0f^{i0}=J^i\] \[\partial_{\alpha}f^{i\alpha}=J^i\]

La deuxième équation s’écrit : \[c~(\partial_1D_1+\partial_2D_2+\partial_2D_2)=\rho~c\] \[\partial_1f_{10}+\partial_2f_{20}+\partial_3f_{30}=J^0\] \[\partial_1f^{01}+\partial_2f^{02}+\partial_3f^{03}=J^0\]

D’où l’équation générale : \[\partial_{\alpha}f^{\beta\alpha}=J^{\beta\alpha}\]

Avec : \[H_k=f_{ij}\quad;\quad cD_i=f_{i0}\]

Dans un repère quelconque, on aurait : \[\nabla_{\alpha}f^{\beta\alpha}=J^{\beta}\]

2.6. Liaison entre les tenseurs \(f\) et \(F\)

La liaison entre les tenseurs \(F(E,B\)) et \(f(D,H)\) n’est pas possible dans tous les cas. On se place dans l’hypothèse de Lorentz : celle d’une charge électrique dans le vide où règne un champ électrique : \[\overrightarrow{B}=\mu_0~\overrightarrow{H}\quad;\quad\overrightarrow{D}=\varepsilon_0\overrightarrow{E}\quad;\quad \mu_0~\varepsilon_0~c^2=1\]

On a alors : \[B_i=\mu_0~H_i\quad\rightarrow\quad\frac{1}{c}~F_{jk}=\mu_0~f_{jk}\quad\text{soit :}~~F_{jk}=\mu_0~c~f_{jk}\]

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