VI. Éléments de cinématique relativiste

Arrow s1

Plan du site

Étude des vecteurs fondamentaux (vitesse et accélération) dans un environnement relativiste. La ligne d’univers.

1. Le vecteur vitesse

Mesurons le vecteur \(\overrightarrow{\lambda}\) tangent à la ligne d’univers : \[x^{\alpha}=x^{\alpha}(s)\quad;\quad s=M_0M\] \[{\lambda}^\alpha=\frac{dx^{\alpha}}{ds}~~\text{ est un vecteur unitaire.}\]

En effet : \[dx^{\alpha}~dx_{\alpha}=g_{\alpha\beta}~dx^{\beta}~dx_{\beta}=ds^2\] \[{\lambda}^{\alpha}~{\lambda}_{\alpha}=\frac{dx^{\alpha}}{ds}~\frac{dx_{\alpha}}{ds}=\frac{ds^2}{ds^2}=1\]

Quel rapport avec la vitesse ordinaire dans le même repère galiléen ? \[{\lambda}^i=\frac{dx^i}{ds}=\frac{dx^i}{dt}~\frac{dt}{ds}=v^i\frac{dt}{ds}\quad;\quad i=1,~2,~3\] \[ds^2=c^2~dt^2-dx^2-dy^2-dz^2=c^2~dt^2-dl^2\] \[v^2=\frac{dl^2}{dt^2}=\frac{dx^2+dy^2+dz^2}{dt^2}\] \[ds^2=c^2~dt^2-v^2~dt^2\quad\Rightarrow\quad ds=c~\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}~dt={\alpha}~c~dt\] \[\frac{dt}{ds}=\frac{1}{\alpha~c}\]

On obtient alors :

\[\begin{aligned} \lambda^i&=\frac{v^i}{\alpha~c}\quad;\quad i=1,~2,~3 \\ x^0&=c~t \\ \lambda^0&=\frac{dx^0}{ds}=\frac{dx^0}{dt}~\frac{dt}{ds}= c~\frac{1}{\alpha~c} \quad\Rightarrow\quad\lambda^0 = \frac{1}{\alpha}\end{aligned}\]

2. Le vecteur accélération

Par définition : \[\Gamma^{\alpha}=\frac{d\lambda^{\alpha}}{ds}\quad;\quad\alpha=1,~2,~3\]

On peut écrire :

\[\begin{aligned} &\lambda^\alpha~\Gamma^{\alpha}=\lambda^{\alpha}~\Big(\frac{d\lambda^{\alpha}}{ds}\Big)\\ &\lambda^{\alpha}~{\Gamma}^{\alpha}={\lambda}^{\alpha}~\frac{d \lambda^{\alpha}}{ds} =\frac{d}{ds}({\lambda}_{\alpha}~{\lambda}^{\alpha})- {\lambda}^{\alpha}~\frac{d\lambda_{\alpha}}{ds}\end{aligned}\]

D’où : \[\frac{d}{ds}({\lambda}_{\alpha}~{\lambda}^{\alpha})={\lambda}^{\alpha}~\frac{d \lambda^{\alpha}}{ds} +{\lambda}^{\alpha}~\frac{d\lambda_{\alpha}}{ds}\]

Or, on sait que :

\[\begin{aligned} &{\lambda}_{\alpha}~{d\lambda}^{\alpha}={\lambda}_{\alpha}~g^{\alpha \beta}~{d\lambda}_{\beta} \\ &{\lambda}^{\alpha}~{d\lambda}_{\alpha}=g^{\alpha \beta}~{d\lambda_{\alpha}}~{d\lambda}_{\beta}= g^{\beta \alpha}~{d\lambda_{\beta}}~{d\lambda}_{\alpha}\end{aligned}\]

Il s’ensuit que : \[\frac{d}{ds}({\lambda}_{\alpha}~{\lambda}^{\alpha})=2~\lambda_{\alpha}~\frac{d\lambda^{\alpha}}{ds} \qquad\text{et}\qquad \lambda_{\alpha}~\frac{d\lambda^{\alpha}}{ds}=\frac{1}{2}~\frac{d}{ds}({\lambda}_{\alpha}~{\lambda}^{\alpha})\]

Par suite : \[{\lambda}^{\alpha}~{\Gamma}^{\alpha}=\frac{1}{2}~\frac{d}{ds}({\lambda}_{\alpha}~{\lambda}^{\alpha})\qquad \text{car :}\quad{\lambda}_{\alpha}~{\lambda}^{\alpha}=1\quad\text{et}\quad\lambda\ \bot\ \Gamma\]

On a respectivement :

\[\begin{aligned} \Gamma^i&=\frac{d\lambda^i}{ds}~\frac{dt}{ds}=\frac{d}{dt}\Big(\frac{v^i}{\alpha~c}\Big)\Big(\frac{1}{\alpha c}\Big) \quad\Rightarrow\quad \Gamma^i=\frac{1}{\alpha~c^2}~\frac{d}{dt}\Big(\frac{v^i}{\alpha}\Big)\quad;\quad i=1,~2,~3 \\ \Gamma^0&=\frac{d\lambda^0}{ds}~\frac{dt}{ds}=\frac{d}{dt}\Big(\frac{1}{\alpha}\Big)\Big(\frac{1}{\alpha c}\Big) ~~~\quad\Rightarrow\quad\Gamma^0=\frac{1}{\alpha~c}~\frac{d}{dt}\Big(\frac{1}{\alpha}\Big)\end{aligned}\]

3. Application

Soit un repère galiléen à 3 dimensions et une particule \(M\) animée d’une vitesse \(\vec v\ //\ \vec{Ox}\) par rapport à ce repère. Attachons à \(M\) un repère galiléen propre : \(V_M\ /\ R'=0\)

3.1. Calcul de la vitesse

\[x=\frac{x'+v~t'}{\alpha}\quad;\quad y=y'\quad;\quad z=z'\quad;\quad t=\frac{t'+\cfrac{v~x'}{c^2}}{\alpha}\]

En différentiant : \[dx=\frac{dx'+v~dt}{\alpha}\quad;\quad dt=\frac{dt'+\cfrac{v~dx'}{c^2}}{\alpha} \quad\Rightarrow\quad \frac{dt}{dt'}=\frac{1+\cfrac{v}{c^2}~\cfrac{dx}{dt}}{\alpha}\]

D’où les dérivées :

\[\begin{aligned} \frac{dx}{dt}&=\frac{dx'+vdt}{dt'+\cfrac{v}{c^2}~dx'}=\frac{\cfrac{dx'}{dt'}+v}{dt'+\cfrac{v}{c^2}~\cfrac{dx'}{dt'}} \\ \frac{dy}{dt}&=\frac{dy'}{dt'}~\frac{dt'}{dt}\\ \frac{dz}{dt}&=\frac{dz'}{dt'}~\frac{dt'}{dt}\end{aligned}\]

3.2. Calcul de l’accélération

Nous posons, pour alléger l’écriture de la formule qui va suivre : \[\Delta=1+\frac{v}{c^2}~\frac{dx'}{dt'}\] \[\Gamma_x=\frac{d^2 x}{dt^2}\quad;\quad\Gamma_x'=\frac{d^2 x'}{dt'^2}\]

On peut alors écrire : \[\Gamma_x=\frac{\Gamma_x'~\Delta-\cfrac{v}{c^2}~\Gamma_{x'}~\Big(\cfrac{dx'}{dt'}+v\Big)}{\Delta^2}~\frac{\alpha}{\Delta}\]

À l’instant \(t\), la vitesse de \(M\) dans son repère propre est nulle : \[\frac{dx'}{dt'}=0\]

Tous calculs faits : \[\Gamma_x = \Gamma_x'~\Big(1-\frac{v^2}{c^2}\Big)~\alpha = \alpha^3~\Gamma_x'\]

En mécanique classique \(\Gamma_x = \Gamma_x'\), donc le principe fondamental de la dynamique est en cause. On obtiendrait également : \[\Gamma_y=\alpha^2~\Gamma_y'\quad;\quad\Gamma_z=\alpha^2~\Gamma_z'\]

La notion de masse est également remise en cause : on associe donc à \(\Gamma_x\) une masse longitudinale \(m_l\)  et également à \(\Gamma_y\) et à \(\Gamma_z\), composantes de l’accélération transversale, une masse transversale \(m_t\).

↑ Haut