III. Signaux déterministes

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L'aspect énergétique du signal. D'une manière très impropre, nous dirions au carré du signal. Les fonctions de carré intégrable correspondront à des signaux d'énergie finie, les autres à des signaux de puissance moyenne finie. Importance des fonctions d'auto-corrélation et inter-corrélation. Densité spectrale d'énergie (ou de puissance).

1. Définitions premières

On définit une énergie de signal \(x(t)\) complexe par l’intégrale : \[E=\lim_{T\rightarrow\infty }\int_{-T}^{+T}|x(t)|^2~dt=\int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|^2~dt\]

On définit une puissance de signal \(x(t)\) complexe par l’intégrale : \[P=\lim_{T\rightarrow\infty }\Big\{\frac{1}{2~T}\int_{-T}^{+T}|x(t)|^2~dt\Big\}\]

Si \(x(t)\) est tel que \(E<+\infty\) , (c.à.d. de carré intégrable ou \(x(t)\in L^2\)), on dit que ce signal est d’énergie finie et on a \(P=0\). Si \(x(t)\) est tel que \(0<P<+\infty\) , on dit que le signal est de puissance finie et on a \(E=\infty\). Les signaux transitoires (figure ci-dessus) sont des signaux d’énergie finie.

Le signal sinusoïdal est un premier exemple de signal d’énergie infinie et de puissance finie.

Les signaux périodiques sont apparentés aux signaux de puissance finie. Prenons l’exemple \(x(t)=a~\cos(\omega_0~t)\) :

\[\begin{aligned} P&=\lim_{T\rightarrow\infty }\Big\{\frac{1}{2~T}\int_{-T}^{+T}a^2~\cos^2(\omega_0~t)~dt\Big\} \\ P&=\frac{a^2}{4}~\lim_{T\rightarrow\infty }\Big\{\frac{1}{2~T}\int_{-T}^{+T}\big[1+\cos(2~\omega_0~t)\big]~dt\Big\} \\ P&=\frac{a^2}{4}\lim_{T\rightarrow\infty }\Big\{\frac{1}{2~T}\int_{-T}^{+T}dt\Big\} +\frac{a^2}{4}~\lim_{T\rightarrow\infty }\Big\{\frac{1}{2~T}\int_{-T}^{+T}\cos(2~\omega_0~t)~dt\Big\}\end{aligned}\]

À la limite (deuxième intégrale bornée), on retrouve le résultat connu : \[P=\Big(\frac{a^2}{4}\times 2\Big)+0=\frac{a^2}{2}\]

Remarque

L’expression de l’énergie \(E\) serait la même que l’expression de \(P\) à condition de supprimer le facteur \(1/2T\). La deuxième intégrale (en \(cos\)) reste toujours finie, quelles que soient les valeurs des bornes d’intégration. Il n’en est pas de même pour la première intégrale : \[\int_{-T}^{+T}dt=2~T\]

Le résultat devient infini quand \(T\rightarrow \infty\).

2. Signaux à énergie finie

Le signal \(x(t)\) est un signal d’énergie finie si : \[E=\int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|^2~dt~<~\infty\]

D’après le théorème de Parseval : \[E=\int_{-\infty}^{+\infty}|X(f)|^2~df~<~\infty\]

\(|X(f)|^2\) représente une densité spectrale d’énergie (DSE), car l’énergie est son intégrale sur toute l’échelle des fréquences. On posera : \[DSE = S_{xx}(f)=|X(f)|^2\]

2.1. Notion de corrélation

Par définition, la fonction d’intercorrélation de deux signaux \(x(t)\) et \(y(t)\) complexes est exprimée par la relation : \[R_{xy}(\tau)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)~\overline{y(t-\tau)}~dt \quad;\quad x(t)\in \mathbb{C}\]

Dans le cas où \(y(t\)) s’identifie à \(x(t)\), on considère une fonction d’autocorrélation : \[R_{xx}(\tau)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)~\overline{x(t-\tau)}~dt \quad;\quad x(t)\in \mathbb{R}\]

Dans le cas d’un signal réel, on a évidemment : \[R_{xx}(\tau)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)~x(t-\tau)~dt \quad;\quad x(t)\in \mathbb{R}\]

Cette fonction traduit le degré de ressemblance du signal avec lui-même retardé de \(\tau\).
On remarquera que : \[R_{xx}(0)=\int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|^2~dt = E\]

2.2. Relation DSE – autocorrélation

Considérons la fonction d’intercorrelation : \[R_{xy}(\tau)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)~\overline{y(t-\tau)}~dt\]

et l’expression du produit de convolution : \[x(\tau)\star y(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)~y(\tau-t)~dt\]

On peut écrire : \[R_{xy}(\tau)=x(\tau)\star\overline{y(t-\tau)}\]

En particulier : \[R_{xx}(\tau)=x(\tau)\star\overline{x(t-\tau)}\]

Appliquons la transformation de Fourier : \[TF\big[R_{xx}(\tau)\big]=TF\big[x(\tau)\big]~TF\big[~\overline{x(t-\tau)}~\big]\]

Avec \(u=-\tau\), donc \(du=-d\tau\) :

\[\begin{aligned} TF\big[~\overline{x(t-\tau)}~\big]&=\int_{-\infty}^{\infty}\overline{x(t-\tau)}~e^{-j~2\pi f~\tau}~d\tau= \int_{-\infty}^{\infty}\overline{x(u)}~e^{+j~2\pi~f~u}~du\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}\overline{x(u)~e^{-j~2\pi~f~u}}~du= \overline{\int_{-\infty}^{\infty}x(u)~e^{-j~2\pi~f~u}~du}=\overline{X(f)}\end{aligned}\]

On a donc : \[TF\big[R_{xx}(\tau)\big]=X(f)~\overline{X(f)}=|X(f)|^2=S_{xx}(f)\]

3. Signaux de puissance finie

Du fait que la puissance apparaît comme la moyenne d’une intégrale, elle peut s’exprimer sous la forme : \[P=\lim_{T\rightarrow\infty }\Big\{\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{+T/2}|x(t)|^2~dt\Big\}\]

3.1. Notion de corrélation

L’intercorrélation est définie par : \[R_{xy}(\tau)=\lim_{T\rightarrow\infty }\Big\{\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{+T/2}x(t)~\overline{y(t-\tau)}~dt\Big\}\]

L’autocorrélation est définie par : \[R_{xx}(\tau)=\lim_{T\rightarrow\infty }\Big\{\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{+T/2}x(t)~\overline{x(t-\tau)}~dt\Big\}\]

On remarquera que \(P=R_{xx}(0)\).

3.2. Densité spectrale de puissance (DSP)

Compte tenu du résultat obtenu pour la DSE, nous poserons à priori : \[S_{xx}(f)=TF\big[R_{xx}(\tau)\big]\]

et nous montrerons que cette fonction représente bien une DSP du signal \(x(t)\).

D’après l’hypothèse : \[P=R_{xx}(0)=\int_{-\infty}^{+\infty}S_{xx}(f)~df\]

Or, par définition : \[P=R_{xx}(0)=\lim_{T\rightarrow\infty }\Big\{\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{+T/2}|x(t)|^2~dt\Big\}=P\]

Il vient donc : \[P=R_{xx}(0)=\int_{-\infty}^{+\infty}S_{xx}(f)~df \qquad c.q.f.d.\]

D’une manière générale : \[DSP~: \quad S_{xx}(f)=TF\big[R_{xx}(\tau)\big]\]

3.3. Cas particulier d’un signal périodique

Un signal périodique peut s’exprimer sous forme de série de Fourier :

\[\begin{aligned} x(t)&=\sum_{n=-\infty}^{n=+\infty}C_n~\exp\Big(j~2\pi~\frac{n}{T_0}~t\Big) \quad;\quad C_n\in \mathbb{C} \\ R_{xx}(\tau)&=\lim_{T\rightarrow\infty }\Big\{\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{+T/2} x(t)~\overline{x(t-\tau)}~dt\Big\}\end{aligned}\]

Et en introduisant les expressions en séries : \[R_{xx}(\tau)=\lim_{T\rightarrow\infty }\Big\{\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{+T/2}\sum_{n}C_n~\exp(j~2\pi~\frac{n}{T_0}~t)~\sum_{1}\overline{C_l}~\exp(-j~2\pi~\frac{l}{T_0}~t)~dt\Big\}\]

En faisant les regroupements nécessaires : \[R_{xx}(\tau)=\sum_n\sum_l C_n~\overline{C_l}~\left\{\lim_{T\rightarrow 0}\Big\{\int_{-T/2}^{+T/2}\exp\big[j~2\pi~(n-l)~\frac{t}{T_0}\big]~dt\Big\}\right\}~\exp\big(j~2\pi~\frac{l}{T_0}~\tau\big)\]

Or, cette limite n’est différente de zéro que si \(n=1\). On a donc : \[R_{xx}(\tau)=\sum_n|C_n|^2~\exp\big(j~2\pi~\frac{n}{T_0}~\tau \big)\]

On en déduit que : \[P=R_{xx}(0)=\sum_n|C_n|^2\] \[S_{xx}(f)=TF\big[R_{xx}(\tau)\big]=\sum_n|C_n|^2~\delta\Big(f-\frac{n}{T_0}\Big)\]

Exemple du signal sinusoïdal :

\[\begin{aligned} x(t)&=a~\cos(2\pi~f_0~t)\\ x(t)&=\frac{1}{2}~\Big\{\exp(j~2\pi~f_0~t)+\exp(-j~2\pi~f_0~t)\Big\}\\ C_n&=\frac{a}{2} \quad ; \quad n=\pm 1\end{aligned}\]

Et son analyse spectrale :

\[\begin{aligned} X(f)&=\frac{a}{2}~\Big\{\delta(f-f_0)+\delta(f+f_0)\Big\} \\ S_{xx}(f)&=\frac{a^2}{4}~\Big\{\delta(f-f_0)+\delta(f+f_0)\Big\}\\ P&=2~\frac{a^2}{4}=\frac{a^2}{2}\end{aligned}\]

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