V. Exercice sur la contre-réaction

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Mise en oscillation d'un amplificateur à trois étages à réaction.

1. Exercice 1

1.1. Énoncé

Mise en oscillation d’un amplificateur à trois étages à réaction.

Avec trois étages identiques dont l’amplification de chacun est de la forme : \[\frac{-A_1}{1+j~X}\qquad\text{avec~:}\quad X=\frac{\omega}{\omega_m}-\frac{\omega_m}{\omega}\]

on constitue un oscillateur en réunissant l’anode du troisième étage à la cathode du premier par une résistance \(R\).

La résistance entre cette cathode et la masse étant \(R_1\), on demande :

  • la valeur minima de \(R\) assurant l’oscillation,

  • la fréquence d’oscillation.

On prendra : \(F_m=5~\text{kHz}~~;~~A_1=20~~;~~R_1=300~\Omega\).

1.2. Réponse

1) Tout d’abordv la représentation du montage (schéma ci-contre).

2) Tension entre grille et cathode du premier tube : \[v_g-v_k=0-\frac{R_1}{R_1+R}~v_s\]

On a donc : \[\beta=-\frac{R_1}{R_1+R}\quad;\quad\beta~<~0\]

3) Amplification \(A\) de l’ensemble des trois étages : \[A=\Big(\frac{-A_1}{1+j~X}\Big)^3\]

4) Condition d’entretien limite : \[A~\beta=-1\qquad~\text{soit~:}\quad\frac{A_1^2~\beta}{(1+j~X)^3}=-1\]

D’où l’équation : \[A_1^3~\beta=-[1+3~j~X-3~X^2-j~X^3]\]

Qui se décompose en :

\[\begin{aligned} &j~X~(3-X^2)=0 &&(1)\\ &A_1^3~\beta=-1+3~X^2 &&(2)\end{aligned}\]

La première équation donne : \[X=0\qquad\text{ou}\qquad 3-X^2=0\]

La solution \(X=0\) qui entraîne \(\beta=-\cfrac{1}{A_1^3}~<0\) est acceptable.

La solution \(X^2=3\) qui entraîne \(\beta>0\) n’est pas compatible avec le schéma électronique.

La solution \(X=0\) correspond à \(\omega=\omega_m\), c’est-à-dire \(f_m=\omega_m/2\pi\)

On doit donc avoir : \[\frac{R_1}{R_1+R}~>~\frac{1}{A_1^3}\]

Et comme \(A\gg 1\), on aura \(R<A^3~R_1\).

Application numérique : \(R<2,4~\text{M}\Omega~~;~~f_o=5~\rm kHz\)

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