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Certaines observations de physique en rapport avec les discontinuités (régimes transitoires, impulsions...) ont conduit à l'utilisation de nouveaux outils mathématiques, en rupture avec les vieilles habitudes. Ces outils ont néanmoins traduit avec succès la réalité expérimentale et sont devenus des concepts tout à fait rigoureux au sens mathématique du terme dans ce que l'on appelle la théorie des distributions.

Cette théorie trouve son origine dans le calcul symbolique de Heaviside et de Poincaré, mais particulièrement dans l'introduction par les physiciens de la fonction de Dirac (en 1926).

L'impulsion de Dirac ou la masse de Dirac ou la fonction delta de Dirac a été introduite par le britannique Paul Dirac pour les besoins du formalisme quantique. Une fonction étrange représentant un signal de durée nulle, mais avec une amplitude infinie vérifiant la condition : ∫ δ(t) = 1. Ceci, à l'encontre de la théorie classique de l'intégration, au sens de Lebesgue.

La justification mathématique correcte devait conduire à une extension de la notion de fonction, extension qui a été présentée dans les années 1950 sous sa forme actuelle par le mathématicien Laurent Schwartz, décrochant ainsi la médaille Field.

I. Topologie et notions de base
Premiers éléments : support d'une fonction, espace D des fonctions test, espace D' des distributions. Cas particuliers : distribution de Dirac, valeur principale.
II. Opérations sur les distributions
Étude des deux opérations de base fondamentales : la dérivation et la multiplication au sens des distributions. Importance de la fonction impulsion de Dirac.
III. Produit de convolution en théorie des distributions
Produit de convolution au sens habituel. Produit tensoriel de distributions (et sa dérivation). Produit de convolution ; rôle principal de la fonction de Dirac.
Formulaire - Mécanismes des distributions
Définitions. Propriétés. Opérations. Produit de convolution.
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