III. Produit de convolution en théorie des distributions

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Produit de convolution au sens habituel. Produit tensoriel de distributions (et sa dérivation). Produit de convolution ; rôle principal de la fonction de Dirac.

1. Produit de convolution au sens habituel

Lorsqu’il existe, on appelle produit de convolution de deux fonctions localement sommables \(f(x)\) et \(g(x)\) la fonction \(h(x\)) définie par : \[h(x)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(t)~g(x-t)~dt\]

L’opération est commutative. Pour le démontrer, il suffit d’effectuer le changement de variable \(u=x-t\) : \[h(x)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}g(u)~f(x-u)~du\]

On écrit symboliquement : \[h(x)=f(x)\star g(x)\qquad\text{ou}\qquad (f\star g)(x)\]

Du fait de la linéarité de l’intégration, l’opération est distributive par rapport à l’addition : \[f(x)\star\{g_1(x)+g_2(x)\}=f(x)\star g_1(x)+f(x)\star g_2(x)\]

2. Produit tensoriel de distributions

Soient les deux fonctions \(\varphi\in\mathcal{D}(\mathbb{\mathbb{R}}^m)\) et \(\psi\in\mathcal{D}(\mathbb{\mathbb{R}}^n)\). La fonction : \[(x,y)\in\mathcal{\mathbb{R}}^{m+n}\rightarrow \varphi(x).\psi(y)\qquad x\in\mathcal{\mathbb{R}}^m,~y\in\mathcal{\mathbb{R}}^n\] est indéfiniment dérivable et à support compact.

Cette fonction est le produit tensoriel \(\varphi\otimes\psi\) des fonctions \(\varphi,~\psi\). \[\text{support}(\varphi\otimes\psi)=\text{support}(\varphi)\times \text{support}(\psi)\subset\mathbb{R}^{m+n}\]

Pour mémoire : le support de \(f\) est un ensemble fermé en dehors duquel \(f\) est nulle et en outre c’est le plus petit ayant cette propriété.

Ainsi : \[\varphi\otimes\psi\in\mathcal{D}(\mathcal{\mathbb{R}}^{m+n})\]

Considérons à présent \(S\in\mathcal{D'}(\mathbb{R}^m)\) et \(T\in\mathcal{D'}(\mathbb{R}^n)\).

Pour éviter des confusions, nous écrirons : \(S=S_x\) et \(T=T_y\).

2.1. Théorème

Il existe une distribution unique \(U\in\mathcal{D'}(\mathbb{R}^{m+n})\) telle que pour tout \(\varphi\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^m)\) et tout \(\psi\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)\) : \[\langle U,\varphi\otimes\psi\rangle =\langle S,\varphi\rangle .\langle T,\psi\rangle\]

En outre, si \(\theta\in\mathcal{D}(\mathcal{\mathbb{R}}^{m+n})\) est arbitraire, on a : \[\langle U,\theta\rangle =\langle S_x,\langle T_y,\theta(x,y)\rangle \rangle =\langle T_y,\langle S_y,\theta(x,y)\rangle \rangle\]

où toutes les opérations sont bien définies.

La distribution U s’appelle produit tensoriel de S et de T : \(U=S\otimes T\)

Exemple 1 \[m=n=1 ~;~a,b\in\mathcal{\mathbb{R}}~;~ c=\{a,b\}\in\mathcal{\mathbb{R}}^2 \qquad \delta_a\otimes\delta_b=\delta_c\]

Exemple 2 \[m=n=1 ~;~\theta\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^2) \qquad \langle Y_x \otimes Y_y\rangle =\int\limits_0^{\infty}\int\limits_0^{\infty}\theta(x,y)~dx~dy\]

2.2. Dérivation du produit tensoriel

Les notations étant inchangées pour \(i\in\{1,2,\dots,m\}\) et \(j\in\{1,2,\dots,n\}\) : \[\left\{ \begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x_i}(S_x\otimes T_y)&=\frac{\partial S_x}{\partial x_i}\otimes T_y \\ \frac{\partial}{\partial y_j}(S_x\otimes T_y)&=S_x\otimes\frac{\partial T_y}{\partial y_j} \end{aligned} \right.\]

Exemple : \[\frac{\partial^2}{\partial x~\partial y}(Y_x\otimes Y_y)=\delta_{(0,0)}=\delta\quad\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^2)\]

3. Distribution de Dirac en convolution

3.1. Convolution par \(\delta\)

Soit T une distribution quelconque et \(\delta\) la distribution à l’origine.

\[\begin{aligned} \langle \delta\star T,\varphi\rangle &=\langle \delta_x.T_y,\varphi(x+y)\rangle =\langle T_y,\langle \delta_x,\varphi(x+y)\rangle \rangle \\ \langle \delta\star T,\varphi\rangle &=\langle T_y,\varphi(y)\rangle\end{aligned}\]

On a donc : \[\delta\star T=T\]

La distribution de Dirac à l’origine est un opérateur unitaire dans la convolution.

3.2. Convolution par \(\delta(x-a)\)

Dans les mêmes conditions :

\[\langle \delta(x-a)\star T(x),\varphi(x)\rangle =\langle T(x),\varphi(a+x)\rangle =\langle T(x-a),\varphi(x)\rangle\]

On a donc : \[\delta(x-a)\star T(x)=T(x-a)\]

En conclusion, pour translater une distribution, il suffit de la convoluer par la translatée \(\delta(x-a)\) de la distribution de Dirac.

En utilisant cette propriété, on peut en déduire que, si \(T=R\star S\) : \[T(x-a)=\{R \star S\}\star\delta(x-a)=R(x-a)\star S=R\star S(x-a)\]

3.3. Convolution par la dérivée \(\delta'\)

\[\begin{aligned} \langle \delta'\star T,\varphi\rangle &=\langle \delta'(x).T(y),\varphi(x+y)\rangle =\langle T(y),\langle \delta'(x),\varphi(x+y)\rangle \rangle \\ \langle \delta'\star T,\varphi\rangle &=-\langle T(y),\varphi'(y)\rangle =\langle T',\varphi\rangle \end{aligned}\]

D’où le résultat généralisé : \[\delta'\star T=T'\qquad\Rightarrow\qquad \delta^{(m)}\star T=T^{(m)}\]

Ainsi, pour dériver m fois une distribution, il suffit de la convoluer par la dérivée d’ordre m de la distribution de Dirac.

En utilisant cette propriété, on peut en déduire que : \[T=R \star S\qquad\Rightarrow\qquad T'=R'\star S=R \star S'\]

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