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Auxerre, adorable ville bourguignonne sur les bords de l’Yonne, où j’ai enseigné pendant trois années au lycée de jeunes filles Paul Bert. Une de mes promenades : de la place de l’ancien marché Gustave-Eiffel à la cathédrale Saint-Étienne, la rue Joseph-Fourier. Car c'est là que le physicien éponyme est né, comme en témoigne une plaque en fonte, relativement modeste, apposée sur le fronton de la maison de ses parents.

Bernhard Riemann disait de lui « [...] qu’il était le premier, à avoir compris, d’une manière exacte et complète, la nature des séries trigonométriques. » Pour la petite histoire, dans un mémoire rédigé en 1820, l’académicien Joseph Fourier aurait substitué le signe ∑ aux points de suspension...

La série – ou la somme infinie de fonctions trigonométriques – présentée sous forme d’intégrale, convergence oblige, allait devenir la transformation de Fourier ou transformation espace temps – espace fréquence. Séries et transformation de Fourier ont été les deux outils de base de l’analyse harmonique.

Oserai-je dire maintenant que la transformation de Fourier et la transformation de Laplace sont des cousines germaines, venues au monde pour le bonheur de la physique et de celui du physicien. Leur lien mathématique est étroit, mais il faut adresser à Laplace ce petit compliment d’avoir introduit l’opérateur p de dérivation, donc celui d’intégration 1 / p.

Le calcul symbolique, avec ses originaux et ses images, est alors apparu tout naturellement pour faciliter le traitement des problèmes de circuits de l’électronique.

Jean-Baptiste Joseph Fourier et Pierre-Simon de Laplace : deux savants relativement proches dans la vie puisque Laplace aura été, avec Monge et Lagrange, l’un des professeurs de l’étudiant Fourier à l’École normale supérieure. Ce dernier devait être plus tard le successeur du maître décédé, à la chaire à l’École polytechnique en 1797.

I. Séries de Fourier
Séries trigonométriques. Séries de Fourier de fonctions périodiques. Convergence. Coefficients de Fourier de translatée de fonction périodique. Coefficients de Fourier de dérivées de fonctions. Produit de convolution.
II. Transformation de Fourier
Fonctions périodiques - séries de Fourier. Fonctions apériodiques - transformation de Fourier. Théorèmes de Plancherel et de Parseval. Transformées de Fourier les plus utiles.
III. Transformation de Laplace unilatérale. Principe et définitions
Unilatéral et bilatéral. Définition simplifiée.Propriétés principales : somme de fonctions, dérivation, intégration, convolution. Théorème de la valeur initiale. Translation et théorème du retard. Transformées usuelles et techniques de calcul.
IV. Transformation de Laplace unilatérale. Calcul symbolique
Équation différentielle (exemple type). Système différentiel. Application à la physique (électronique).
V. Signaux à temps discret. Transformation en Z
Généralités : signaux à temps discret, principaux concepts, principales opérations. Transformation en Z et transformation de Fourier.
VI. Transformation de Fourier discrète
Définition de la transformée de Fourier discrète (TFD). Approximation réalisée par la TFD et principe des algorithmes rapides (FFT).
Formulaire - Transformations de Laplace et de Fourier
Transformation monolatérale de Laplace. Transformation de Fourier. Coefficients.

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