II. Transformation de Fourier

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Fonctions périodiques - séries de Fourier. Fonctions apériodiques - transformation de Fourier. Théorèmes de Plancherel et de Parseval. Transformées de Fourier les plus utiles.

1. Fonctions périodiques. Séries de Fourier

Toute fonction périodique \(x(t)\) de période \(T\) peut s’écrire sous la forme d’une série :

\[\begin{aligned} x(t)&=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} C_n~\exp\Big(j~2\pi~\frac{n}{T}~t\Big)\\ C_n&=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{+T/2} x(t)~\exp\Big(j~2\pi~\frac{n}{T}~t\Big)~dt\end{aligned}\]

On sait que le spectre en amplitude d’une fonction sinusoïdale \(s(t)=a~\cos(2\pi~f_0~t)\) se compose de deux raies symétriques : \[S(f)=\frac{a}{2}~\{\delta(f-f_0)+\delta(f+f_0)\}\]

On trouvera facilement pour le spectre en amplitude de \(x(t)\) : \[X(f)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} C_n~\delta\Big(f-\frac{n}{T}\Big)\]

Le spectre est un spectre de raies d’amplitude \(|C_n|\) régulièrement espacées de \(1/T\).

2. Fonctions apériodiques. Transformation de Fourier

Si la fonction \(x(t)\) n’est pas périodique, on peut toujours supposer qu’elle l’est en admettant que la période T devient infinie. Dans ces conditions, \(1/T~\rightarrow 0\) , l’espacement entre les raies diminue et le spectre devient un spectre continu. Donc si \(x(t)\) n’est pas périodique, on passe de sa représentation temporelle \(x(t)\) à sa représentation fréquentielle ou spectre \(X(f)\) au moyen de la transformation de Fourier. Cette transformation s’adapte à n’importe quelle fonction apériodique.

On rappelle les deux formules de transformation (directe et inverse) :

\[\begin{aligned} x(t)~~&\rightarrow~~X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty} x(t)~\exp(-j~2\pi~f~t)~dt\\ X(f)~~&\rightarrow~~x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} X(f)~\exp(+j~2\pi~f~t)~df\end{aligned}\]

Une intégrale est d’ailleurs très utile en transformation de Fourier (ainsi que pour le calcul des probabilités) :

\[\begin{aligned} \int_{-\infty}^{+\infty}\exp(-a~x^2\pm 2~b~x+c)~dx&=\sqrt{\frac{\pi}{a}}~\exp(-\frac{a~c-b^2}{a})\qquad (a,~b,~c)\in\mathbb{R~,~C}\text{, mais}~~x\in\mathbb{R}\\ \int_0^{+\infty}\exp(-x^2)~dx&=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty} \exp(-x^2)~dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\qquad (a=1~;~b=c=0)\end{aligned}\]

Remarque

D’une manière générale, \(X(f)\) est une quantité complexe que l’on peut mettre sous la forme : \[X(f)=|X(f)|~e^{j~\varphi(f)}\quad;\quad \varphi(f)=\arg[X(f)]\]

Si \(x(t)\) est une fonction réelle, \(X(f)\) possède la propriété de symétrie hermitienne : \[X(-f)=\overline{X(f)}\]

c’est-à-dire : \[\left\{ \begin{aligned} |X(-f)|&=|\overline{X(f)}|=|X(f)|\\ \arg[X(-f)]&=\arg\overline{X(f)}=-\arg[X(f)] \end{aligned} \right.\]

En conclusion, si \(x(t)\) est une fonction réelle, le module de \(X(f)\) est pair et la phase de \(X(f)\) est impaire.

3. Théorèmes

3.1. Théorème de Plancherel

On considère trois fonctions \(x(t),~y(t),~z(t)\) dont les spectres en fréquence sont respectivement \(X(f),~Y(f),~Z(f)\) : \[z(t)=x(t)~y(t)\quad\Rightarrow\quad Z(f)=X(f)\star Y(f)\]

Et réciproquement : \[z(t)=x(t)\star y(t)\quad\Rightarrow\quad Z(f)=X(f)~Y(f)\]

Ainsi, l’opération de convolution dans un espace devient un produit dans l’autre.

3.2. Théorème de Parseval

On considère deux fonctions (\(x(t),~y(t)\)) de spectres respectifs (\(X(f),~Y(f)\)). On peut écrire : \[\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)~\overline{y(t)}~dt=\int_{-\infty}^{+\infty}X(f)~\overline{Y(f)}~df\]

En particulier : \[\int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|^2~dt=\int_{-\infty}^{+\infty}|X(f)|^2~df\]

Ainsi, les calculs peuvent-ils être menés dans l’espace des temps ou dans l’espace des fréquences selon la complexité des expressions dans un espace ou dans l’autre.

4. Transformées de Fourier les plus utiles

\[\begin{array}{r c l} \text{Espace temps} &\longleftrightarrow & \text{Espace fréquences} \\ x(t-a) &\longleftrightarrow &e^{-j~2\pi~f~a}~X(f) \\ x(t)~e^{j~2\pi~f_0~t} &\longleftrightarrow &X(f-f_0) \\ \delta(t) &\longleftrightarrow &1 \\ 1 &\longleftrightarrow &\delta(f) \\ e^{j~2\pi~f_0~t} &\longleftrightarrow &\delta(f-f_0) \\ \delta(t-t_0) &\longleftrightarrow &e^{-j~2\pi~f~t_0} \\ \cos(2\pi~f_0~t) &\longleftrightarrow &\{\delta(f-f_0)+\delta(f+f_0)\}/ 2 \\ \sin(2\pi~f_0~t) &\longleftrightarrow &j~\{\delta(f+f_0)-\delta(f-f_0)\}/ 2 \\ x(t)~\cos(2\pi~f_0~t) &\longleftrightarrow &\{X(f+f_0)+X(f-f_0)\}/ 2 \\ x(t)\star y(t) &\longleftrightarrow &X(f)~Y(f) \\ x(t)\star\overline{y(-t)} &\longleftrightarrow &X(f)~Y(-f) \\ {d^n}/{dt^n}[x(t)] &\longleftrightarrow &(j2\pi f)^n~X(f) \\ (-j~2\pi~t)^n~x(t) &\longleftrightarrow &{d^n}/{df^n}[X(f)] \end{array}\]

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