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À la recherche d'une mécanique ondulatoire.

On savait depuis Hamilton et les développements de la mécanique analytique que les trajectoires possibles pour un point matériel dans un champ de forces donné sont orthogonales à une famille de surfaces, de la même manière que les rayons lumineux de l'optique géométrique sont les trajectoires orthogonales d'une famille de surfaces : les surfaces d'onde.

Dans un champ dérivant d'un potentiel, les surfaces d'onde mécaniques sont les surfaces équipotentielles. Il y a donc analogie entre la mécanique analytique du point matériel et l'optique géométrique.

L'optique géométrique n'est qu'une première approximation pour la propagation de la lumière. Si les actions qu'elle subit varient de façon importante dans un domaine comparable à la longueur d'onde (passage par les petits orifices, réflexion sur deux obstacles très voisins), il faut remplacer l'optique géométrique par l'optique physique, étude complète de la propagation des ondes.

Cette optique physique ne peut être développée que si l'on connaît la longueur d'onde du rayonnement. Si dans l'expression des résultats obtenus, on fait tendre cette longueur vers zéro, on retrouve les résultats de l'optique géométrique.

Peut-on trouver une mécanique ondulatoire dont la mécanique classique ne serait qu'une première approximation et qui rendrait compte des discontinuités de la mécanique atomique (cf. la théorie de Bohr) ?

Il faut pour cela faire correspondre aux mouvements des électrons un phénomène ondulatoire. La longueur d'onde de ce phénomène doit, pour les électrons atomiques, être de l'ordre de grandeur des dimensions de l'atome puisque c'est à cette échelle que la mécanique classique est en défaut. Elle doit s'exprimer en fonction de la constante de Planck comme des discontinuités de l'atome.

Nous laissons pour l'instant de côté la suite des raisonnements de de Broglie qui ont conduit à la notion d'onde associée à des électrons en mouvement, mais nous étudierons essentiellement les caractéristiques de cette onde et les conséquences de son existence.

I. Fondements de la mécanique ondulatoire
Caractéristiques de l'onde associée (vitesses de phase et de groupe). Diffraction des électrons. Manifestation de l'onde associée (expérience de Davison et Germer). Optique électronique. Diffraction des protons et des neutrons. Interprétation physique de la fonction d'onde. Principe d'incertitude d'Heisenberg. Diffraction d'un photon par un trou.
II. Mécanique ondulatoire. Équation de Schrödinger
Mise en équation. Équations de Schrödinger dépendante et indépendante du temps. Propriétés générales des solutions. Retour sur le principe d'incertitude.
III. Barrières de potentiel. Effet tunnel
Barrière de potentiel. Conditions sur la fonction d'onde.Coefficients de réflexion et de transmission. Effet tunnel. Mise en évidence de l'effet tunnel.
IV. Notions de spectroscopie. Généralités
Oscillateur harmonique : théorie classique et mécanique ondulatoire. Principe de correspondance dans l'atome de Bohr. Classification des spectres : émission et absorption. Exemple du spectre de l'hydrogène.
V. Notions de spectroscopie. Théorie de Bohr
Approche par la mécanique classique. Conditions de quantification de Bohr. Phénomène d'entrainement du noyau. Intervention de la mécanique ondulatoire. Moment dipolaire et moment cinétique.
Formulaire - Mécanique ondulatoire
Fondements de la mécanique ondulatoire. Équation de Schrödinger.

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