Formulaire - Mécanique ondulatoire

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Fondements de la mécanique ondulatoire. Équation de Schrödinger.

On m’a enseigné jadis que la mécanique ondulatoire et la mécanique quantique étaient indissociables, la première étant la mère de la deuxième. Comme une évolution de génération avec le passage de la dualité matérielle onde – corpuscule (très chère à Louis de Broglie) à celui de la dualité immatérielle onde – probabilité de présences de particules. Voici donc les premiers éléments à garder en mémoire.

1. Fondements I de la mécanique ondulatoire

1.1. Caractéristique de l’onde associée

Un rayonnement de fréquence \(\nu\) transporte des photons d’énergie : \[E~=~h~\nu \quad;\quad h~=~6,62\times 10^{-34}\rm~J~s \qquad \text{cte de Planck}\]

Selon la théorie de la relativité restreinte, tout corpuscule d’énergie \(E\) a une masse \(m=E~/~c^2\).

Impulsion d’un photon (vitesse \(c\)) : \[p~=~m~c~=\frac{E}{c}~=~\frac{h~\nu}{c}\]

Longueur d’onde de son rayonnement électromagnétique : \[\lambda~=~\frac{c}{\nu}~=~\frac{h}{p}\]

On retiendra que pour l’onde de Louis de Broglie, associée à un électron en mouvement, la fréquence et la longueur d’onde sont respectivement liées à l’énergie et à l’impulsion de l’électron, comme dans le cas d’ondes lumineuses et du photon par les relations : \[\nu~=~\frac{E}{h} \qquad \rm et \qquad \lambda~=~\frac{h}{p}\]

Vitesse de phase et vitesse de groupe (\(v\) : vitesse de l’électron) : \[v_{\phi}~=~\frac{c^2}{v}~>~c \qquad \rm et \qquad v_g~=~v\]

1.2. Diffraction des électrons

\(U\) étant la tension appliquée, supposée d’abord peu élevée de sorte que l’électron (de charge \(e\) et de masse \(m_e\)) soit non relativiste, l’énergie cinétique a pour expression : \[E_c~=~\frac{1}{2}~m_e~v^2~=~e~U\]

Et sa longueur d’onde associée a pour expression : \[\lambda_0~=~\frac{h}{m_e~v}~=~\frac{h}{\sqrt{2~m_e~e~U}}\]

On démontre, pour une très forte tension, l’électron devenant relativiste : \[\lambda~=~\lambda_0\left(1-\frac{e~U}{4~m_e~c^2}\right)\]

Considérons à présent un faisceau d’électrons arrivant avec un angle d’incidence \(i_1\) sur un ensemble deux grilles parallèles, la première portée au potentiel \(U_1\) et la deuxième au potentiel \(U_2\), l’angle de sortie étant \(i_2\).

Les résultats ressemblent à ceux de l’optique (lame à faces parallèles) : \[\sqrt{U_1}~\sin i_1~=~\sqrt{U_2}~\sin i_2\]

On retrouve l’analogie en posant : \(n=k~\sqrt{U}\)

On peut même retrouver la formule de l’angle limite \(\lambda\) : \[\sin \lambda~=~\frac{\sqrt{U_2}}{\sqrt{U_1}}\]

On peut alors parler d’optique électronique.

2. Fondements II de la mécanique ondulatoire

2.1. Fonction d’onde. Interprétation physique

Le phénomène ondulatoire est caractérisé par une fonction d’onde \(\Phi\), fonction des coordonnées et du temps, qui oscille en chaque point et dont l’oscillation se propage. C’est le cas des vecteurs \(\overrightarrow{E}\) et \(\overrightarrow{H}\) de l’onde électromagnétique.

Pour interpréter les expériences sur les électrons individuels, nous admettrons que \(\Phi~\Phi^*\) est proportionnelle à la probabilité de présence de la particule, à un instant \(t\), de se trouver dans un élément de volume \(d\tau\) et respectant la condition de normalisation : \[\int_{Espace}\Phi~\Phi^*~d\tau~=~1\]

Intégration étendue à tout l’espace d’occupation des variables

2.2. Principe d’incertitude

Le principe d’incertitude d’Heisenberg s’énonce ainsi :

Il est impossible de connaître avec une précision illimitée deux variables conjuguées. Par exemple la position \(x\) et la quantité de mouvement \(p_x~=~mv_x\). Les incertitudes \(\Delta_x\) et \(\Delta p_x\) sur ces deux variables sont liées par la condition : \[\Delta_x ~ \Delta p_x~\geqslant~h\]

Ce principe a été élaboré à l’aide d’un microscope conçu par Heisenberg lui-même.

3. Équation de Schrödinger

3.1. Mise en équation

Rencontrée lors de l’étude des ondes électromagnétiques dans le vide, on retrouve une équation identique et valable pour n’importe quelle grandeur \(\Phi(x,y,z,t)\) se propageant dans un milieu : \[\Delta\Phi~=~\frac{1}{c^2}~~\frac{\partial^2\Phi}{\partial t^2}\]

Les solutions peuvent être mises sous la forme : \[\Phi(x,y,z,t)~=~\Psi(x,y,z)~e^{-j\omega t}\]

Avec, pour les ondes indépendantes du temps (équation des ondes en régime stationnaire) : \[\Delta \Psi~+~\frac{4\pi^2}{\lambda^2}~\Psi~=~0\]

Dans le cas où la particule n’est plus libre mais soumise à un champ \(V\) dérivant d’un potentiel, Schrödinger a déterminé une équation indépendante du temps de la forme : \[\Delta \Psi+\frac{~2m}{\hbar^2}~(E-V)~\Psi~=~0\]

\(E\) étant l’énergie cinétique, \(\hbar~=~h/2\pi\) étant la constante de Planck réduite.

En introduisant l’opérateur hamiltonien \(H\), cette équation s’écrit : \[H~\Psi = E~\Psi \qquad \rm avec~: \quad H = {-\frac{\hbar^2}{2\pi}~\Delta+V}\]

Noter que l’on peut faire apparaître l’impulsion sous la forme d’un opérateur : \[p_x^2~\rightarrow~-\hbar^2~\frac{\partial^2}{\partial x^2}\qquad ou \qquad p_x~\rightarrow~\frac{\hbar}{j}~\frac{\partial}{\partial x}\]

Ce qui permet d’écrire : \[\frac{\hbar}{j}~\frac{\partial}{\partial x}\Psi~=~p_x~\Psi\]

Et l’équation générale de Schrödinger a pour expression : \[H~\Phi~=~-\frac{\hbar}{j}~\frac{\partial \Phi}{\partial t}\]

3.2. Propriétés générales des solutions

Du fait de son interprétation probabiliste, la fonction \(\Phi\) doit être de module au carré intégrable (convergence). Elle est régulière, continue, partout finie, s’annule à l’infini et possède une valeur unique en chaque point de l’espace.

Ces conditions imposent à \(\Psi\), et en général à \(E\), de ne prendre qu’une série discontinue de valeurs \(E_i\), valeurs propres de l’opérateur hamiltonien \(H\).

À chaque valeur de \(E_i\) correspond une fonction propre \(\Psi_i(x,y,z)\) ; s’il y en a plusieurs, on dit qu’il y a dégénérescence. À chaque solution stationnaire \(\Psi_i\) correspond une fonction d’onde : \[\Phi_i(x,y,z;t)~=~\Psi_i(x,y,z)~e^{(-j\frac{E_i}{\hbar}t)}\]

Et l’équation de Schrödinger dépendant du temps étant linéaire : \[\Phi~=~\sum_i \Psi_i~e^{(-j\frac{E_i}{\hbar}t)}\]

Les fonctions \(\Phi\) doivent être normées afin que soit respecté l’axiome de probabilité de présence (extension à tout l’espace) : \[\int_{Espace} \Phi_i~\Phi^*~d\tau~=~1 \qquad \Rightarrow \qquad \int_{Espace} \Psi_i~\Psi^*~d\tau~=~1\]

Enfin, les \(\Psi_i\) (ainsi que les \(\Phi_i\)) formant un espace orthonormé : \[\int \Psi_i~\Psi_j~d\tau~=~\delta_{ij}\]

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