Arrow s1

Plan du site

Cg laplace 220x325

« Une intelligence qui, pour un instant donné, connaîtrait toutes les forces dont la matière est animée et la situation respective des êtres qui la composent, si d'ailleurs elle était assez vaste pour soumettre ces données à l'analyse, enchaînerait dans la même formule les mouvements des plus grands corps de l'univers et ceux du plus léger atome : rien ne serait incertain pour elle, et l'avenir comme le passé seraient présents à ses yeux. »

Pierre Simon de Laplace (1749-1827)


L'origine du mot hasard remonterait au XIIe siècle. De l'arabe az-zahr ou dés à jouer, transmis par l'Espagne (occupée pendant sept siècles par les arabes) qui en a fait le mot azar, du moins pour des expressions de jeux.

Puis le calcul des probabilités proprement dit au XVIIe siècle. Un mot initialement utilisé pour désigner la présence ou non d'un fait attendu. Pascal et le chevalier de Méré sont certainement les premiers à avoir introduit le quantitatif dans ces études et à les mathématiser.

Après trois siècles et demi d'existence, le calcul des probabilités s'imposera comme l'une des branches les plus récentes des mathématiques. Ceci, grâce aux travaux de nombreux mathématiciens comme Pierre Simon Laplace, Denis Poisson, Carl Friedrich Gauss, Henri Poincaré, Paul Levy, Andrei Kolmogorov et Alexandre Khintchine. Ce calcul est maintenant présent dans presque toutes les branches de l'activité scientifique. Les mentalités déterministes ont changé, le certain étant l'aléatoire dont la réalisation a une probabilité de réalisation égale à 1.

« La qualité particulière des probabilités de concerner des sujets aussi prosaïques que les jeux de hasard ne s'est jamais démentie depuis trois siècles. Mais en outre, la science probabiliste fait appel aujourd'hui à une mathématique assez vaste, depuis l'art de prendre des décisions, jusqu'à présider au mouvement des électrons, atomes et molécules. Le calcul des probabilités est devenu puissant au point de gouverner, sous une même loi, physique, chimie, mécanique, biologie et jusqu'à la sociologie. Elle le signifie effectivement : le monde du XX° siècle est probabiliste. »

Extrait de Jean-Louis Rigal, La science contemporaine (Larousse, 1965, Tome 2)

I. Notion physique de probabilité
Expériences ou épreuves sur un exemple courant. Résultat ou événement. Sensibilisation à la loi des grands nombres : convergence de la fréquence (a posteriori) vers la notion de probabilité (a priori).
II. Expression axiomatique de la probabilité
L'espace des événements et la théorie des ensembles. Axiomatique : mesure sur un ensemble et probabilité. Axiomes de Kolmogoroff. Probabilités conditionnelles, indépendance et règle des hypothèses (Bayes).
III. Variable aléatoire discrète
La notion de variable aléatoire discrète. Tableau de répartition et fonction de répartition.
IV. Variable aléatoire continue
Fonction de répartition et notion de densité de probabilité comme dérivée de la fonction de répartition. Probabilité pour une variable aléatoire continue. Étude d'un exemple classique.
V. Moments d'une variable aléatoire
Calcul des moments d'une variable aléatoire. Notion d'espérance mathématique, variance (et écart type). Théorème de la moyenne. Changements de variable (translation et homothétie).
VI. Inégalité de Chebycheff
Établissement de l'inégalité de Chebycheff. Transformation dans un changement de variable. Exercice d'application dans le cas général.
VII. Fonction caractéristique
Fonction caractéristique. Développement et propriétés des coefficients du développement : exemples. Propriétés de la dérivation. Effet d'un changement de variable (exemple de la combinaison translation - homothétie).
VIII. Lois de probabilités fondamentales
Caractéristiques des lois de probabilités classiques : variables discrètes (Poisson et Binomiale) et continues (distributions uniforme et de Gauss). Utilisation de la courbe et de la table de Gauss. Application à un problème industriel.
IX. Changements de variable
Changement de variable ou fonction de variable. Caractéristiques de la nouvelle variable. Densité (continu) ou pondérations (discret). Exercices d'application.
X. Couples de variables aléatoires discrètes
Définitions. Variables marginales.Tableau de répartition.Indépendance. Opérations élémentaires (somme et produit de deux variables). Fonction caractéristique d'une somme de variables aléatoires.
XI. Couples de variables aléatoires continues
Définitions. Probabilités marginales et conditionnelles. Fonction de répartition et densité de probabilité. Espérance mathématique de somme et de produit de variables aléatoires. Densité de probabilité d'une somme de variables indépendantes ; produit de convolution.
XII. Couple de variables aléatoires. Changement de variables
Couple de variables aléatoires. Changement de variables. Jacobien de la transformation. Exemple complet dans l'hypothèse d'une distribution gaussienne.
XIII. Couple de variables aléatoires. Corrélation
Couples de variables aléatoires. Indépendance. Corrélation. Indépendance et corrélation. Coefficient de corrélation. Considérations physiques sur la corrélation. Étude d'un exemple complet.
XIV. Variables mixtes. Notions
Variables mixtes (discrète et continue) étudiées sur un exemple. Mise en pratique de la dérivation au sens des distributions pour le calcul de la densité de probabilité.
XV. Épreuves répétées. Loi des grands nombres
Épreuves répétées. Loi des grands nombres : théorème. Application : méthode de Monte-Carlo. Théorème central limite, démonstration. Fonction caractéristique et tendance vers la loi de Poisson.
XVI. Notions sur les fonctions aléatoires
Grandeur et fonction aléatoires. Génération de processus. Loi de répartition. Moments. Fonctions de corrélation et d'inter-corrélation. Action des opérateurs linéaires (intégration et dérivation). Somme de variables aléatoires. Stationnarité au sens stricte et au sens large. Exemple de processus ergodique.
XVII. Notions sur les chaînes de Markov
Matrice stochastique ou transition. Construction de la matrice sur un exemple. Matrice régulière. Transitions d'ordre supérieur. Notion de vecteur fixe (ou point fixe). État absorbant.
Formulaire - Probabilités
Propriétés d’une variable aléatoire. Lois de probabilité. Couples de variables aléatoires. Fonctions aléatoires. Loi des grands nombres.

Deux ouvrages, mentionnés dans les références bibliographiques, m’ont été particulièrement utiles : celui de H. Ventzel (ed. Mir) et celui de S. Lipshutz (série Schaum).

↑ Haut