VI. Inégalité de Chebycheff

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Établissement de l'inégalité de Chebycheff. Transformation dans un changement de variable. Exercice d'application dans le cas général.

1. Démonstration

On considère cette fois le cas d’une variable aléatoire continue. Le résultat sera généralisé au cas discret sans difficulté. Nous supposerons que la variable est centrée, soit \(E(X)=0\). On désigne par \(f(x\)) la densité de probabilité de la variable aléatoire \(X\).

Partons de l’expression de la variance \(\sigma_x^2\) que nous noterons simplement \(\sigma^2\).

La variable étant centrée : \[\sigma^2=\int_{-\infty}^{+\infty}x^2f(x)~dx=\int_{-\infty}^{+\infty}x^2dF(x)\]

Introduisant un nombre \(a>0\), on peut écrire l’intégrale précédente sous forme d’une somme de trois intégrales : \[\sigma^2=\int_{-\infty}^{-a}x^2dF+\int_{-a}^{+a}x^2dF+\int_{+a}^{+\infty}x^2dF\]

Chacune des intégrales est positive.

Comme \(x^2>a^2\) dans la première et la troisième intégrale, on peut les majorer et écrire : \[\int_{-\infty}^{-a}a^2dF<\int_{-\infty}^{-a}x^2dF\] \[a^2\int_{+a}^{+\infty}dF<\int_{+a}^{+\infty}x^2dF\]

L’égalité définissant \(\sigma^2\) peut être transformée en inégalité en supprimant la deuxième intégrale (positive) : \[\sigma^2\geq a^2\left\{\int_{-\infty}^{-a}dF+\int_{+a}^{+\infty}dF\right\}\]

D’autre part :

\[\begin{aligned} \int_{-\infty}^{-a}dF=Pr(X<a)\\ \int_{+a}^{+\infty}dF=Pr(X>a)\end{aligned}\]

Comme les deux intervalles (extrêmes) sont disjoints, on peut écrire, pour une variable centrée : \[Pr(|X|>a)~\leq~ \frac{\sigma^2}{a^2} \qquad (m_1=0)\]

Dans le cas général (variable centrée ou non), on écrira l’inégalité de Chebycheff : \[Pr(|X-m_1|>a)~\leq~ \frac{\sigma^2}{a^2}\]

Remarque

Pour l’intervalle complémentaire, l’inégalité est inversée et il faut prendre le complément à 1 comme valeur minorante : \[Pr(|X-m_1|\leq a) ~ > ~ 1-\frac{\sigma^2}{a^2}\]

2. Application

On s’intéresse au nombre aléatoire \(N\) d’avions qui arrivent dans un intervalle de temps de 20 minutes sur un aéroport pour y atterrir. On a observé que \(E(N)=50\) et \(\sigma_N^2=50\). On veut connaître, à l’aide de l’inégalité de Chebycheff, une valeur majorante de \(Pr(40<N<60)\).

Les valeurs extrêmes 40 et 60 se présentent dans un écart absolu de 10 par rapport à la moyenne. On l’exprimera par la relation : \[Pr(40<N<60)=Pr(|N-\overline{N}|<10)\]

La forme complémentaire de l’inégalité de Chebycheff donne : \[Pr(|N-\overline{N}|<10)\quad > \quad 1- \frac{\sigma^2}{10^2} = \frac{1}{2}\]

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