VII. Fonction caractéristique

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Fonction caractéristique. Développement et propriétés des coefficients du développement : exemples. Propriétés de la dérivation. Effet d'un changement de variable (exemple de la combinaison translation - homothétie).

1. Définition

Soit \(X\) une variable aléatoire (discrète ou continue) et \(g(X)\) une fonction de cette variable. On sait maintenant calculer la moyenne de cette fonction dans les deux cas :

\[\begin{aligned} &\text{Variable discrète :} && E\{g(X)\}=\sum_i p_i~g(x_i)\\ &\text{Variable continue :} && E\{g(X)\}=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)~f(x)~dx\end{aligned}\]

Une fonction particulièrement intéressante est la fonction \(\exp(jtx)\) dans laquelle \(t\) est un paramètre réel non aléatoire : \[e^{jtx}=\cos(tx)+j~\sin(tx)\]

Comme les fonctions \(|\cos(tx)|\) et \(|\sin(tx)|\) sont bornées, leurs moyennes existent et il en est de même pour la fonction exponentielle.

Nous définirons la fonction caractéristique \(\Phi\) par : \[X\rightarrow \Phi(t)=E(e^{jtx})\]

C’est-à-dire :

\[\begin{aligned} &\text{Variable discrète :} && \Phi(t)=\sum_k p_k~e^{jtx_k}\\ &\text{Variable continue :} && \Phi(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{jtx}f(x)~dx\end{aligned}\]

Théorème

La fonction caractéristique est une fonction continue de \(t\) égale à \(1\) pour \(t = 0\). La continuité de cette fonction est une propriété essentielle. Comme elle est valable aussi bien pour les lois discrètes que pour les lois continues, elle permet de traiter des problèmes où il y a passage progressif d’une loi discrète à une loi continue ayant une densité.

La fonction caractéristique définit complètement la variable \(X\). Cela signifie qu’elle permet de calculer les probabilités \(p_k\) (en discret) ou la densité de probabilité \(f(x\)) (en continu).

2. Variable discrète. Détermination des \(p_k\)

2.1. Une formule d’intégration

\[lim_{ \ T\rightarrow +\infty}\left\{\frac{1}{2T}\int_{-T}^{+T}e^{jt\alpha}~e^{-jtx}dx\right\}= \begin{aligned} 0 \qquad x\neq\alpha \\ 1 \qquad x=\alpha \end{aligned}\]

Si \(x=\alpha\), le résultat est trivial.

Si \(x\neq\alpha\), la limite de l’intégrale : \[\frac{1}{2T}\int_{-T}^{+T}e^{jt\alpha}~e^{-jtx}~dx=\frac{\sin\big\{(\alpha-x)~T\big\}}{(\alpha-x)~T}\] est naturellement 0 parce que la fonction sinus est bornée, le dénominateur tendant vers l’infini avec T (propriété du sinus cardinal).

2.2. Détermination des \(p_k\)

Partant du développement : \[\Phi(t)=E(e^{jtX})=p_1e^{jtx_1}+ \dots +p_ne^{jtx_n}\]

Intégrant les deux membres : \[\frac{1}{2T}\int_{-T}^{+T}\Phi(t)~e^{-jtx}dt=p_1~\frac{1}{2T}\int_{-T}^{+T}e^{jtx_1}~e^{-jtx_1}dt+ \dots\]

En passant à la limite, on obtient pour chaque terme : \[lim_{ \ T\rightarrow +\infty}\left\{\frac{1}{2T}\int_{-T}^{+T}e^{jt\alpha}~e^{-jtx_i}dx\right\}= \begin{aligned} 0 \qquad x\neq x_i \\ p_i \qquad x=x_i \end{aligned}\]

On en déduit successivement les pondérations \(p_1,~p_2,~\dots,~p_n\).

2.3. Remarque de simplification

On peut rencontrer des cas dans lesquels on peut se dispenser d’appliquer la méthode précédente. Elle ne doit pas être systématique. L’exemple qui suit permet de justifier cette remarque.

Une variable aléatoire peut prendre les valeurs \(\{-2,~-1,~0,~1,~2\}\) avec les probabilités respectives \(\{p_1,~\dots,~p_5\}\). On connaît l’expression de sa fonction caractéristique : \[\Phi(t)=\frac{1}{2}+\frac{3}{8}\cos(t)+\frac{1}{8}\cos(2t)\]

On veut en déduire la valeur des \(p_i\).

On s’assure tout de suite que \(\Phi(t)\) est continue et que \(\Phi(0)=1\) en posant : \[cos(t)=\frac{e^{jt}+e^{-jt}}{2}~cos(2t)=\frac{e^{2jt}+e^{-2jt}}{2}\] On obtient directement : \[\Phi(t)=\frac{1}{16}~e^{-2jt}+\frac{3}{16}~e^{-jt}+\frac{1}{2}~e^{j0}+\frac{3}{16}~e^{jt}+\frac{1}{16}~e^{2jt}\]

On a donc : \[p_1=p_2=\frac{1}{16} \qquad p_2=p_4=\frac{3}{16} \qquad p_3=\frac{1}{2}\]

3. Développement de la fonction caractéristique. Propriétés

Les coefficients du développement de la fonction caractéristique correspondent aux moments de tous ordres de la variable aléatoire : \[\Phi(t)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(jt)^k}{k!}~m_k\] Nous allons le démontrer dans les deux cas (continu et discret).

3.1. Continu

Partons de la définition : \[\Phi(t)=E(e^{jtx})=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{jtx}f(x)~dx\]

En développant la partie exponentielle :

\[\begin{aligned} \Phi(t)&=\int_{-\infty}^{+\infty}\left\{\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(jt)^k}{k!}~x^k\right\}f(x)~dx\\ \Phi(t)&=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(jt)^k}{k!}\int_{-\infty}^{+\infty}x^k f(x)~dx\end{aligned}\]

On reconnaît dans l’intégrale l’expression du moment d’ordre k.

3.2. Discret

On effectue un calcul similaire dans le cas de la variable discrète.

\[\begin{aligned} \Phi(t)&=\sum_{i=1}^np_i~e^{jtx_i}=\sum_{i=1}^n\left\{\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(jt)^k}{k!}~x_i^k\right\}\\ \Phi(t)&=\sum_{k=0}^{\infty}\left\{\frac{(jt^k)}{k!}\sum_{i=1}^np_i~x_i^k\right\}=\sum_k\frac{(jt)^k}{k!}~m_k\end{aligned}\]

4. Deux applications simples

4.1. Exemple 1

La variable \(X\) suit une loi de probabilité uniforme, c’est-à-dire : \[f(x)= \begin{aligned} &0 \qquad 0\leq x\leq 1 \\ &1 \qquad \text{ailleurs} \end{aligned}\]

La fonction caractéristique a pour expression : \[\Phi(t)=\int_0^1e^{jtx}~dx=\frac{e^{jt}-1}{jt}\]

En développant l’exponentielle : \[\Phi(t)=\frac{1}{jt}\big\{(1+jt+\frac{(jt)^2}{2!}+ \dots)-1\big\}=1+\frac{(jt)^3}{3!}+ \dots +\frac{(jt)^k}{(k+1)!}\]

Les moments d’ordre pair sont nuls.

Pour les moments d’ordre impair : \[m_k=\frac{1}{k+1}\]

4.2. Exemple 2

La variable \(X\), positive, suit une loi de densité \(f(x)=e^{-x}\).

Expression de sa fonction caractéristique : \[\Phi(t)=\int_0^{+\infty}e^{-x}e^{jtx}~dx=\frac{1}{1-jt}=1+(jt)+(jt)^2+ \dots\]

Adoptons l’écriture particulière : \[\Phi(t)=1+(jt)+[2!]\frac{(jt)^2}{2!}+ \dots + [n!]\frac{(jt)^n}{n!}\]

On voit tout de suite que : \[m_1=1 ~; \quad m_2=2 ~ ; \quad\dots~;\quad m_n=n!\]

On peut en déduire : \[\sigma^2=m_2-m_1^2=1\]

5. Dérivées de la fonction caractéristique. Propriétés

Revenons à l’expression de base de la fonction : \[\Phi(t)=E\{e^{jtx}\}=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{jtx}f(x)~dx\]

Effectuons une dérivation par rapport à \(t\) sous le signe somme, opération très simple du fait que les bornes sont indépendantes de \(t\).

Dérivée première : \[\Phi'(t)=j\int_{-\infty}^{+\infty}e^{jtx}xf(x)~dx \qquad \Phi'(0)=j\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)~dx=j\overline{X}\]

Dérivée seconde : \[\Phi"(t)=j^2\int_{-\infty}^{+\infty}e^{jtx}x^2f(x)~dx \qquad \Phi"(0)=-\int_{-\infty}^{+\infty}x^2f(x)~dx=\overline{X^2}\]

On retiendra les résultats fondamentaux suivants : \[\Phi(0)=1 ~ ; \quad \Phi'(0)=jE(X) ~ ; \quad \Phi''(0)=-E(X^2)\]

6. Effet d’un changement de variable

Nous prendrons à titre d’exemple une combinaison homothétie-translation : \[X\rightarrow Y=aX+b\]

On obtient :

\[\begin{aligned} \Phi_Y(t)&=E\{e^{jt(aX+b)}\}=E\{e^{jtb}~e^{jtaX}\}\\ \Phi_Y(t)&=e^{jtb}~E\{e^{jtaX}\}=e^{jtb}~\Phi_X(at)\end{aligned}\]

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