XIV. Variables mixtes. Notions

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Variables mixtes (discrète et continue) étudiées sur un exemple. Mise en pratique de la dérivation au sens des distributions pour le calcul de la densité de probabilité.

1. Position du problème

On peut concevoir qu’une variable aléatoire puisse être discrète ou continue localement. Mais pour pouvoir mener les calculs sous forme intégrale, il est nécessaire d’avoir recours au formalisme de la théorie des distributions. Pour faciliter l’exposé, nous raisonnerons sur un exemple.

2. Exemple

Bref rappel sur le formalisme des distributions

Pour exprimer la valeur prise par une fonction \(f(x)\) en un point unique de présence on écrit, en supposant choisi l’espace d’intégration \((-\infty,+\infty)\) :

\[f(x_0)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)~\delta(x-x_0)~dx\]

Exemple de densité de probabilitéExemple

La densité de probabilité représentée graphiquement ci-contre comprend deux parties continues de part et d’autre d’une distribution de Dirac. La valeur de \(a\) n’étant pas connue, il faut la déterminer à partir de l’application de la règle de normalisation : \[\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)~dx=1\]

On a une somme de trois intégrales dont l’une au sens des distributions : \[\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(x)~dx+\int_{-\infty}^{+\infty}a~\delta(x-1)~dx+\int_{-\infty}^{+\infty}f_2(x)~dx=1\]

Deux intégrales ont donc valeur de surface, la troisième ayant valeur d’amplitude : \[S_1(0.2)+a+S_3(0.3)=1 \quad \text{donc} \quad a=0.5\]

Pondération d’échelonSupposons que l’on veuille à présent effectuer un changement de variable en appliquant à la variable \(x\) une pondération échelon.

\(Y\) ne peut prendre que deux valeurs \((\pm 1)\) en respectant toujours la loi de probabilité définie pour \(x\).

D’après ce qui précède :

\[\begin{aligned} Pr(Y=-1)&=Pr(X<0)=S_1=0.2\\ Pr(Y=1)&=Pr(X>0)=0.5+0.3=0.8\end{aligned}\]

Il faut effectuer une dérivation pour calculer la densité de probabilité, mais au sens des distributions (la fonction échelon donnant une fonction impulsion de Dirac). On obtient donc : \[f_y(y)=0.2\ \delta(y+1)+0.8\ \delta(y-1)\]

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