XII. Couple de variables aléatoires. Changement de variables

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Couple de variables aléatoires. Changement de variables. Jacobien de la transformation. Exemple complet dans l'hypothèse d'une distribution gaussienne.

1. Introduction

On considère deux variables aléatoires \((X,Y)\) et leurs relations à deux autres variables \((U,V)\) en posant : \[X=\Phi(U,V) \ \ ; \ \ Y=\Psi(U,V)\]

On recherche la loi de probabilité du couple \((U, V)\) en supposant que les deux fonctions précédentes admettent des dérivées premières continues. Le calcul des densités revient au problème du changement de variables dans une intégrale double (transformation à jacobien). Nous raisonnerons sur deux exemples pour fixer les idées.

2. Somme de deux variables

\[M(X,Y)\in D \quad \rightarrow \quad M(U,V)\in \Delta\]

Ce qui se traduit par l’intégration : \[\int\int_Df(x,y)~dx~dy=\int\int_{\Delta} f\{x(u,v),~y(u,v)\}~|J|~du~dv\]

J est le jacobien de la transformation : \((x,y)\rightarrow (u,v)\) \[(J)= \begin{Bmatrix} \partial x/\partial u& &\partial x/\partial v\\ \\ \partial y/\partial u& &\partial y/\partial v \end{Bmatrix}\]

On peut toujours supposer que le point \((X,Y\)) décrit tout le plan, quitte à ce que la densité soit nulle dans certaines régions et poser :

\[\begin{aligned} && &u=x+v\qquad &&v=x &&\\ && &x=v &&y=u-v\end{aligned}\]

On peut vérifier que, dans ce cas, \(|J|=1\).

La densité du couple est alors : \[f\{x(u,v),y(u,v)\}~|J|=f(v,~u-v)\]

On veut déterminer \(g(u)\). Or, \(u=x+y\) et \(|J|=1\). Comme \(g(u)\) présente le caractère d’une probabilité marginale (vis à vis de \(u\)) et compte tenu du choix des variables, la relation précédente s’écrit : \[g(u)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(u,~u-v)~dv\]

On reconnaît le produit de convolution rencontré précédemment d’une autre manière.

3. Exemple. Application plus générale

On fait l’hypothèse d’une répartition de densité (gaussienne) dans le quart de plan : \[f(x,y)=e^{-x-y} \quad ; \quad x>0 \quad \text{et} \quad y>0\]

On fait le changement de variables : \(u=x+v\) et \(v=x/y\). On cherche la loi de probabilité de \((u,v)\) dans son domaine d’application.

Rappelons tout d’abord les formules de passage d’un espace à l’autre :

\[\begin{aligned} &u=x+y &&x=\frac{uv}{1+v}\\ &v=\dfrac{x}{y} &&y=\dfrac{u}{1+v}\end{aligned}\]

Tous calculs faits : \[J=\frac{-u}{(1+v)^2}\]

Comme \(u>0\), il faut prendre : \[|J|=\frac{u}{(1+v)^2}\]

D’où l’expression de la densité : \[f(x,y)=e^{-(x+y)} \ \ \rightarrow \ \ \ e^{-u}\frac{u}{(1+v^2)}\]

et des distributions marginales :

\[\begin{aligned} f_u(u)&=u~e^{-u}\int_0^{+\infty}\frac{dv}{(1+v)^2}\\ f_v(v)&=\frac{1}{(1+v)^2}\int_0^{+\infty}u~e^{-u}~du\end{aligned}\]

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