I. Exercices sur le calcul matriciel

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Valeurs propres, vecteurs propres. Quaternions.

1. Exercice 1

1.1. Énoncé

Rappeler, dans un espace à deux dimensions, l’expression de la matrice rotation \(A\) d’angle \(\varphi\) autour de l’origine des axes de coordonnées. Déterminer les valeurs propres et les composantes des vecteurs propres correspondants.

1.2. Solution

Transformation et système d’équations : \[\left\{ \begin{aligned} &x'=x~\cos\varphi-y~\sin\varphi\\ &y'=x~\sin\varphi+y~\cos\varphi \end{aligned} \right. \qquad \Rightarrow \qquad A= \begin{pmatrix} \cos\varphi&-\sin\varphi\\ \sin\varphi&\cos\varphi \end{pmatrix}\]

Système caractéristique : \[\left\{ \begin{aligned} (\cos\varphi-\lambda)~x-\sin\varphi~y&=0\\ \sin\varphi~x+(\cos\varphi-\lambda)~y&=0 \end{aligned} \right.\]

Équation caractéristique : \[\begin{vmatrix} \cos\varphi-\lambda &-\sin\varphi\\ \sin\varphi &\cos\varphi-\lambda \end{vmatrix} = \lambda^2-2~\lambda~\cos\varphi+1=0\]

Expressions des racines (simples) :

\[\begin{aligned} \lambda_1&=\cos\varphi+i~\sin\varphi\qquad(=e^{i~\varphi})\\ \lambda_2&=\cos\varphi-i~\sin\varphi\qquad(=e^{-i~\varphi})\end{aligned}\]

En reportant la valeur \(\lambda_1\) dans le système caractéristique,on obtient (une seule des équations à considérer) : \[-i~\sin\varphi~x-\sin\varphi~y=0\quad\Rightarrow\quad i~x+y=0\quad\Rightarrow\quad y=-i~x\]

Avec \(\lambda_2\), on aurait obtenu \(y=i~x\).

Les directions propres associées aux racines de l’équation caractéristique sont donc celles des droites isotropes (\(y=\pm~i~x\)).

2. Exercice 2

2.1. Énoncé

On considère l’ensemble \((Q)\) des matrices \(U\) appelées quaternions et définies par : \[U= \begin{pmatrix} x&y\\ -\overline{y}&\overline{x} \end{pmatrix} \quad;\quad\{x,~y\}\in~\mathbb{C}\]

Montrer que l’ensemble \((Q)\), muni de l’addition et de la multiplication possède la structure algébrique d’un corps gauche.

2.2. Solution

a) Considérons l’opération addition \(U''=U+U'\) : \[U''= \begin{pmatrix} x+x'&y+y'\\ -\overline{y}-\overline{y'}&\overline{x}+\overline{x'} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x''&y''\\ -\overline{y''}&\overline{x''} \end{pmatrix}\]

Avec : \[x''=x+x'\quad;\quad y''=y+y'\qquad\text{et ainsi~:}\quad U''\in~(Q)\]

L’addition est naturellement commutative.

Elle comporte un élément neutre : \[U_0= \begin{pmatrix} 0&0\\ 0&0 \end{pmatrix}\]

L’opposé de \(U(x,~y)\) est \((-U)=(-x,~-y)\).

Enfin, l’addition est associative.

b) Considérons à présent l’opération produit : \(U''=U\times U'\) \[U''= \begin{pmatrix} x&y\\ -\overline{y}&\overline{x} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x'&y'\\ -\overline{y'}&\overline{x'} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x~x'-y\overline{y'}&x~y'+y~\overline{x'}\\ -\overline{y}~x'-\overline{x}~\overline{y'}&-\overline{y}~y'+\overline{x}~\overline{x'} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x''&y''\\ -\overline{y''}&\overline{x''} \end{pmatrix}\]

Avec : \[x''=x~x'-y~\overline{y'}\quad;\quad y''=x~y'+y~\overline{x'}\qquad\text{et ainsi :}\quad U''\in~(Q)\]

c) En effectuant le produit \(U'\times U\), on aura le quaternion : \[(x'~x-y'~\overline{y},~x'~y+y'~\overline{x})\quad\Rightarrow\quad U'\times U\neq U\times U'\]

Le quaternion n’est donc pas commutatif.

d) On peut vérifier que (associativité) : \[(U\times U')\times U''=U\times(U'\times U'')\quad\text{pour~:}~~U,~U',~U''\in~Q\]

e) Recherche de l’élément neutre

On doit avoir :

\[\begin{aligned} x~x'-y~\overline{y'}&=x &&x~y'+y~\overline{x'}=y\\ \overline{y}~x'+\overline{x}~\overline{y'}&=\overline{y} &&x~x'-\overline{y}~\overline{y'}=\overline{x}\end{aligned}\]

On en tire : \[x'=1\quad;\quad\overline{y'}=0~~\text{et}~~y'=0\]

Le quaternion unité est donc la matrice unité habituelle : \[U_0= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}\]

f) Quaternion inverse

Tout \(U\) non nul admet donc un inverse \(U^{-1}\).

On doit donc avoir :

\[\begin{aligned} x~x'-y~\overline{y'}&=1\\ \overline{y}~x'+\overline{x}~\overline{y'}&=0\end{aligned}\]

D’où :

\[\begin{aligned} x'&=\frac{\overline{x}}{D}\quad;\quad\overline{y'}=\frac{-\overline{y}}{D}\quad;\quad y'=\frac{-y}{D}\\ D&=x~\overline{x}+y~\overline{y}=|x|^2+|y|^2\end{aligned}\]

g) Distributivité

La distributivité du produit par rapport à l’addition se vérifie aisément \[U\times(U'+U'')=(U\times U')+(U\times U'')\]

h) Conclusion

Ces propriétés confèrent aux quaternions la propriété de constituer un corps. On dit que ce corps est gauche parce que, par rapport à la multiplication, ils forment un groupe non commutatif (ou non abélien).

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