III. Exercices sur le calcul tensoriel

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Explicitation d'une expression. Covariance et contravariance.

1. Calcul tensoriel. Explicitation d’une expression

1.1. Énoncé

Donner l’expression qui explicite la relation tensorielle : \[T_{ijk}~V^{ij}\]

1.2. Solution

\(k\) est un indice libre.

\(i,~j\) sont les deux indices de sommation.

Faisons apparaître un développement intermédiaire, avec comme support l’indice \((i=1,~2,~3)\) : \[T_{ijk}~V^{ij}=T_{1jk}~V^{1j}+T_{2jk}~V^{2j}+T_{3jk}~V^{3j}\]

Chacune des trois formes est ensuite développée comme suit :

\[\begin{aligned} (F_1)=T_{11k}~V^{11}+T_{12k}~V^{12}+T_{13k}~V^{13}\\ (F_2)=T_{21k}~V^{21}+T_{22k}~V^{22}+T_{23k}~V^{23}\\ (F_3)=T_{31k}~V^{31}+T_{32k}~V^{32}+T_{33k}~V^{33}\end{aligned}\]

On écrit ensuite que (somme des 9 expressions composantes) : \[T_{ijk}~V^{ij}=(F_1)+(F_2)+(F_3)\]

2. Calcul tensoriel. Covariance et contravariance

2.1. Énoncé

On considère deux vecteurs de \(E_3\) : \(U=(u_1,~u_2,~u_3)\) et \(V=(v_1,~v_2,~v_3)\)

On considère une base de \(E_3\) définie par \[e_1=(1,~1,~1)\quad;\quad e_2=(0,~1,~1)\quad;\quad e_3=(0,~0,~1)\]

  1. Déterminer les composantes contravariantes des vecteurs \(U\) et \(V\).

  2. Déterminer les composantes covariantes des vecteurs \(U\) et \(V\).

2.2. Solution

1) On peut écrire, pour le vecteur \(U\) :

\[\begin{aligned} &U=x^1~e_1+x^2~e_2+x^3~e_3\\ &U=x^1~(1,~1,~1)+x^2~(0,1,1)+x^3~(0,0,1)\\ &U=(u_1,~u_2,~u_3)\end{aligned}\]

En identifiant : \[x^1=u_1\qquad;\qquad x^1+x^2=u_2\qquad;\qquad x^1+x^2+x^3=u_3\]

La résolution du système conduit aux relations : \[x^1=u_1\qquad;\qquad x^2=u_2-u_1\qquad;\qquad x^3=u_3-u_2\]

De manière identique, on trouvera pour le vecteur \(V\) : \[y^1=v_1\qquad;\qquad y^2=v_2-v_1\qquad;\qquad y^3=v_3-v_2\]

2) Les composantes covariantes de \(U\) peuvent être obtenues en faisant le produit scalaire de ce vecteur avec chacun des vecteurs de la base. \[\text{Ainsi}~:~x_j=U\cdot e_j\]

Effectuons le calcul : \[x_j=U\cdot e_j=(x^1~e_1+x^2~e_2+x^3~e_3)\cdot e_j\]

En posant de manière classique : \[g_{ij}=e_i\cdot e_j\]

On peut alors écrire : \[x_j=x^1~g_{1j}+x^2~g_{2j}+x^3~g_{3j}\]

Rappelons les caractéristiques des vecteurs de base : \[e_1=(1,~1,~1)\quad;\quad e_2=(0,~1,~1)\quad;\quad e_3=(0,~0,~1)\]

Un calcul rapide donne :

\[\begin{aligned} &g_{11}=e_1\cdot e_1=3\quad;\quad g_{22}=e_2\cdot e_2=2\quad;\quad g_{33}=e_3\cdot e_3=1\\ &g_{12}=g_{21}=e_1\cdot e_2=2\quad;\quad g_{13}=g_{31}=e_1\cdot e_3=1\\ &g_{23}=g_{32}=e_2\cdot e_3=1\end{aligned}\]

À titre d’exemple : \[x_1=u_1~g_{11}+(u_2-u_1)~g_{21}+(u_3-u_2)~g_{31}\]

Ce qui donne : \[x_1=3~u_1+2~(u_2-u_1)+(u_3-u_2)=u_1+u_2+u_3\]

Même technique pour la deuxième composante.

Remarque

On pouvait aussi écrire directement le produit scalaire : \[x_j=U\cdot e_j=(x^1e_1+x^e_2+x^3e_3)\centerdot e_j\]

sous les formes :

\[\begin{aligned} x_1&=U\cdot e_1=(u_1,~u_2,~u_3)\cdot (1,~1,~1)=u_1+u_2+u_3\\ x_2&=U\cdot e_1=(u_1,~u_2,~u_3)\cdot (0,~1,~1)=u_2+u_3\\ x_3&=U\cdot e_1=(u_1,~u_2,~u_3)\cdot (0,~0,~1)=u_3\end{aligned}\]

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