II. Exercices sur les lignes

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Coefficient de réflexion et taux d'ondes stationnaires. Impédance d'une ligne.

1. Exercice 1

1.1. Énoncé

En un point donné d’une ligne, l’impédance réduite a pour expression : \[z=1,5+2~j\]

Calculer le coefficient de réflexion et le taux d’ondes stationnaires.

1.2. Réponse

1) Coefficient de réflexion : \[\rho=\frac{z-1}{z+1}=\frac{0,5+2~j}{2,5+2~j}\]

On a donc pour le module : \[|\rho|=\sqrt{\frac{0,25+4}{6,25+4}}=0,643\]

Et pour la phase : \[\theta=\arctan\frac{2}{0,5}-\arctan\frac{2}{2,5}\approx~38\rm^o\]

2) Taux d’ondes stationnaires : \[S=\frac{1+|\rho|}{1-|\rho|}=\frac{1,643}{0,357}=4,60\]

2. Exercice 2

2.1. Énoncé

On considère un câble coaxial d’impédance caractéristique \(Z_c=75~\Omega\).

En un point donné de ce câble, le coefficient de réflexion a pour expression : \[\rho=0,5-0,4~j\]

On demande de calculer, en ce point, le taux d’ondes stationnaires et l’impédance.

2.2. Réponse

1) Taux d’ondes stationnaires : \[|\rho|=\sqrt{0,25+0,16}=0,64\]

D’où le TOS : \[S=\frac{1+|\rho|}{1-|\rho|}=\frac{1,64}{0,36}=0,456\]

2) Impédance

a) Impédance réduite \(z\) : \[z=\frac{1+\rho}{1-\rho}=\frac{1,5-0,4~j}{0,5+0,4~j}=\frac{1,5-0,4~j}{0,5+0,~4j}~\frac{0,5-0,4~j}{0,5-0,4~j}=1,44-1,95~j\]

b) Impédance \(Z\) : \[Z=z~Z_c=(108-j~146)~\Omega\]

3. Exercice 3

3.1. Énoncé

On désigne par \(Z_l\) l’impédance terminale d’une ligne supposée sans pertes.

À une distance donnée \(d\) de celle-ci, calculer les impédances correspondant aux trois cas particuliers suivants : \[Z_l=Z_c\quad;\quad Z_l=0\quad;\quad Z_l=\infty\]

3.2. Réponse

Rappelons d’abord la formule générale : \[z=\frac{\tanh(\gamma~d)+z_l}{1+z_l~\tanh(\gamma~d)}\]

Dans le cas présent (ligne sans pertes) : \[\gamma=j~\beta=j~\frac{2\pi}{\lambda}\qquad\text{car~:}\quad\alpha=0\]

1) Pour \(Z_l=Z_c\), la réponse est immédiate : \(Z=Z_c\) partout.

2) Pour \(Z_r=0\), donc ligne en court-circuit : \[z=\tanh(\gamma~d)=j~\tan\frac{2\pi~d}{\lambda}\]

3) Pour \(Z_r=\infty\), donc ligne en circuit ouvert : \[z~\rightarrow~\frac{1}{\tan(\gamma~d)}\]

4. Exercice 4

4.1. Énoncé

On considère une ligne à faibles pertes (mais non négligeables) terminée en court-circuit.

1) Démontrer qu’à des distances \(~\cfrac{\lambda}{2}~,~\cfrac{3~\lambda}{2}~,~\cfrac{5~\lambda}{2}\)

l’impédance prend sensiblement les valeurs : \[\frac{\alpha~\lambda}{2}~Z_c~,\quad 3~\frac{\alpha~\lambda}{2}~Z_c~,\quad 5~\frac{\alpha~\lambda}{2}~Z_c\]

Conclusion.

2) Démontrer qu’à des distances \(~\cfrac{\lambda}{4}~,~\cfrac{\lambda}{4}+\cfrac{\lambda}{2}~,~\cfrac{\lambda}{4}+K~\cfrac{\lambda}{2}\)

l’impédance prend sensiblement les valeurs : \[\frac{Z_c}{\alpha~\cfrac{\lambda}{4}}~,\quad\frac{Z_c}{3~\alpha~\cfrac{\lambda}{4}}~,\quad\frac{Z_c}{(2~K+1)~\alpha~\cfrac{\lambda}{4}}\]

Conclusion.

4.2. Réponse

La ligne étant en court-circuit, on a : \[z=\tanh(\gamma~d)=\frac{\exp(2~\gamma~d)-1}{\exp(2~\gamma~d)+1}\]

Avec : \[\gamma=\alpha+j~\beta\quad;\quad\beta=\frac{2\pi}{\lambda}\]

1) Premier cas (\(\lambda/2\))

Il correspond à \(d=(2~K+1)~\cfrac{\lambda}{2}\) .

On a alors : \[2~j~\beta~d=j~(2~K+1)~2\pi\quad\Rightarrow\quad\exp(2~j~\beta~d)=1\]

On obtient pour l’impédance réduite : \[z=\frac{\exp(2~\alpha~d)-1}{\exp(2~\alpha~d)+1}\approx\frac{1+2~\alpha~d-1}{1+2~\alpha~d+1} \approx\frac{2~\alpha~d}{2}=\alpha~d=\alpha~\Big(\frac{\lambda}{2},~\frac{3~\lambda}{2},~\dots\Big)\]

Et pour l’impédance vraie \(Z=z~Z_c\) : \[Z=\frac{\alpha~\lambda}{2}~Z_c~,\quad\frac{3~\alpha~\lambda}{2}~Z_c~,\quad\frac{5~\alpha\lambda}{2}~Z_c\]

Du fait de la très faible valeur de \(\alpha\), on voit que la valeur de l’impédance est affaiblie : on dit qu’il y a résonance.

2) Deuxième cas (\(\lambda/4\))

Il correspond à \(d=\cfrac{\lambda}{4}+K~\lambda\) .

Un raisonnement analogue au précédent nous conduit à la valeur : \[\exp(2~j~\beta~d)=-1\]

Tous calculs faits, on obtient pour l’impédance réduite : \[z=\frac{-\exp(2~\alpha~d)-1}{-\exp(2~\alpha~d)+1}\approx\frac{1}{\alpha~d}\]

Il y a cette fois anti-résonance et il vient pour l’expression de l’impédance vraie : \[\frac{Z_c}{\alpha~\cfrac{\lambda}{4}}~,\quad\frac{Z_c}{3~\alpha~\cfrac{\lambda}{4}}~,\quad\frac{Z_c}{(2~K+1)~\alpha~\cfrac{\lambda}{4}}\]

5. Exercice 5

5.1. Énoncé

Une impédance \(Z_l\) est placée à l’extrémité d’une ligne.

L’impédance est mesurée à une distance \(d=30~\text{cm}\) de la charge.

La longueur d’onde a pour valeur \(\lambda=8~\text{cm}\).

L’impédance réduite mesurée est \(z=0,5+1,5~j\).

En déduire l’impédance réduite \(z_l\).

5.2. Réponse

On a : \[\theta=2~\beta~d=2\times 2\pi~\frac{d}{\lambda}=15~\pi\]

C’est-à-dire que \(\theta\equiv\pi\).

Sur le diagramme de Smith, il s’agit d’une rotation rétrograde de \(\pi\), donc d’une symétrie.

D’où l’expression de l’impédance relative : \[z_r=\frac{1}{0,5+1,5~j}=0,2-0,6~j\]

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