Formulaire - Mécanismes des distributions

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Définitions. Propriétés. Opérations. Produit de convolution.

La théorie des distributions a permis de généraliser la notion de fonction et de donner un sens mathématique correct à des objets manipulés par des physiciens, tout en conservant la possibilité de réaliser des opérations telles que dérivation, convolution, transformation de Laplace et de Fourier. Cette théorie a été formalisée par le mathématicien français Laurent Schwartz. Elle lui a valu la médaille Field en 1950.

1. Brèves définitions

Une distribution \(T\) est une fonctionnelle linéaire qui, associée à une fonction test \(\Phi\), conduit à un scalaire noté symboliquement \(\langle T,~\Phi\rangle\). Cette fonction test doit être continue, indéfiniment dérivable et à support borné.

Une fonction localement sommable définit une distribution \(T_f\) définie par : \[\langle T_f,~\varphi \rangle~=~\int_{R^n} f(x)~g(x)~dx\]

Autre forme intégrale fréquemment rencontrée : \[\int_{-\infty}^{+\infty} T(x)~\varphi(x)~dx\]

Ainsi, pour la distribution de Dirac au point d’abscisse \(a\) : \[\langle\delta_{(a)},\varphi\rangle~=~\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x-a)~\varphi(x)~dx~=~\varphi(a)\]

Et pour la distribution de Dirac à l’origine : \[\langle\delta_{(0)},~\varphi \rangle~=~\varphi(0)\]

2. Propriétés

2.1. Continuité

\[\Phi_j~\rightarrow~\Phi \qquad ; \qquad \langle T,~\Phi_j\rangle~~\rightarrow~~\langle~T,~\Phi \rangle\]

2.2. Linéarité

\(\lambda\) étant une constante : \[\begin{aligned} \langle T,\lambda~\Phi \rangle~&=~\lambda~\langle T,~\Phi \rangle~=~\langle \lambda~T,~\Phi \rangle\\ \langle T,~\Phi_1+\Phi_2 \rangle~&=~\langle T,~\Phi_1\rangle+\langle T,~\Phi_2\rangle\end{aligned}\]

3. Opérations usuelles

3.1. Addition

\[\langle S+T,~\Phi \rangle~=~\langle S,~\Phi \rangle + \langle T,~\Phi \rangle\]

3.2. Translation

\[\big\langle T(x-a),~\Phi(x)\big\rangle~=~\big\langle T(x),~\Phi(x+a)\big\rangle\]

3.3. Homothétie

\[\begin{aligned} \big\langle T(ax),~\Phi(x)\big\rangle~&=~\frac{1}{|a|}~\left\langle T(x),~\Phi\left(\frac{x}{a}\right)\right\rangle \\ \big\langle T(-x),~\Phi(x)\big\rangle~&=~\big\langle T(x),~\Phi(-x)\big\rangle\end{aligned}\]

3.4. Dérivation

\[\begin{aligned} \langle T',~\Phi\rangle~&=~-\langle T,~\Phi'\rangle \\ \langle T^{(m)},~\Phi\rangle~&=~(-1)^m~\langle T,~\Phi^{(m)}\rangle\end{aligned}\]

Cas particulier de la fonction de Dirac : \[\begin{aligned} \langle\delta',~\Phi\rangle~&=~-\langle\delta,~\Phi'\rangle~=~-\Phi'(0)\\ \langle\delta^{(m)},~\Phi\rangle~&=~(-1)^m~\Phi^{(m)}(0)\end{aligned}\]

4. Produit de convolution

4.1. Définition

Rappel sur le produit de convolution : \[\begin{aligned} h(x)~&=~f(x)\star g(x)~=~(f\star g)(x)\\ h(x)~&=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x-t)~g(t)~dt~=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)~g(x-t)~dt\end{aligned}\]

Pour les distributions, on trouve parfois une écriture jugée pas très conforme : \[\langle S\star T,~\Phi \rangle~=~\big\langle S(t),~\langle~T(u), \Phi(t+u)\rangle \big\rangle\]

4.2. Propriétés

4.2.1. Convolution avec la fonction de Dirac

\[\langle T\star \delta,~\Phi \rangle~=~\langle\delta \star T,~\Phi\rangle\]

La distribution de Dirac apparaît donc comme un élément neutre à gauche et à droite dans un produit de convolution.

4.2.2. Dérivée d’un produit de convolution

\[\big\langle(S\star T)',~\Phi\big\rangle~=~-\big\langle(S\star T),~\Phi'\big\rangle~=~ \langle S\star T~',~\Phi\rangle\]

4.2.3. Dérivée d’une distribution

On montre que : \[\begin{aligned} T~'~=~T \star \delta~=~\delta~' \star T\\ T^{~(n)}~=~T \star \delta^{~(n)}~=~\delta^{~(n)} \star T\end{aligned}\]

Ce qui montre que l’on peut obtenir la dérivée d’une distribution en effectuant une convolution avec la dérivée de la fonction de Dirac \(\delta\).

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