Formulaire - Techniques en intégration

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Dérivation sous le signe intégral. Formules intéressantes. Fonctions eulériennes. Intégrales de Wallis.

1. Dérivation sous le signe intégral

On considère l’expression : \[E(x)~=~\frac{d}{dx}\Big\{\int_{a(x)}^{b(x)}\Psi(x,t)~dt\Big\}\]

dans laquelle \(\Psi(x,t)\) est une fonction continue en \(x\) et en \(t\) et admet des dérivées du premier ordre continues. Il en est de même pour \(a(x)\) et \(b(x)\).

On démontre que : \[E(x)~=~\int_{a(x)}^{b(x)}\frac{\partial\Psi(x,t)}{\partial x}~dt~+~b'(x)~\Psi{\{x,~b(x)\}}~-~a'(x)~\Psi{\{x,~a(x)\}}\]

Cas particuliers intéressants :

1) \(a\) et \(b\) sont indépendants de \(x\) : \[\frac{d}{dx}~\int_a^b\Psi(x,t)~dt~=\int_a^b\Big\{\frac{\partial\Psi(x,t)}{\partial x}\Big\}~dt\]

2) \(\Psi\) est indépendante de \(x\) : \[\frac{d}{dx}~\int_{a(x)}^{b(x)}\Psi(x,t)~dt~=~b'(x)~\Psi{\{x,~b(x)\}}~-~a'(x)~\Psi{\{x,~a(x)\}}\]

3) Forme triviale mais intéressante : \[\frac{d}{d\alpha}\int_0^{\pi/2}\sin(\alpha t)~dt~ = \frac{1}{\alpha}\int_0^{\pi/2}\cos(\alpha t)~ =~\sin(\alpha t)\]

Une application immédiate est celle de la relation entre la densité de probabilité \(f(u)\) et la fonction de répartition \(F(u)\) dans le calcul des probabilités (variable aléatoire \(u\) continue) : \[f(u)~=~F'(u)~=~\frac{d}{du}F(u)\]

2. Des formules d’intégration intéressantes

\(a(x)\) et \(b(x)\) sont des fonctions de la variable réelle \(x\) ; \(c\) est un nombre réel : \[\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-ax^2\pm 2bx-c}~dx~ =~\sqrt{\frac{\pi}{a}}~e^{-(ac-b^2)/a}\]

On peut par exemple vérifier que : \[\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx~=\sqrt{\pi}\]

Une application au calcul de la fonction caractéristique d’un variable aléatoire gaussienne(centrée) :

\[\Phi(t)~=~\int_{-\infty}^{+\infty}~e^{-x^2/2}~e^{jtx}~dx~=~e^{-t^2/2}\]

Avec \(a=1/2\) ;\(\quad 2b=jt\) ;\(\quad c=0\)

Deux primitives à connaître au passage : \[\begin{aligned} \int\frac{ax+b}{cx+d}~dx ~&=~ \frac{ax}{c}~+~\frac{bc-ad}{c^2}~\ln\left(x+\frac{d}{c}\right)~+~k\\ \int\frac{1}{ax^2+bx+c}~dx ~&=~ \lambda~\ln\lvert x-r_1\rvert~+~\mu~\ln\lvert(x-r_2\rvert~+~k\end{aligned}\]

\(r_1\) et \(r_2\) étant les racines du polynôme.

Dans le cas particulier de la racine double, on aurait : \[\int\frac{1}{a~(x-r)^2}~dx ~=~ \frac{-1}{a~(x-r)}~+~k\]

3. Fonctions eulériennes

3.1. Fonctions de type 1

Pour rappel, ces fonctions \(\Gamma(x)\) sont définies par : \[\Gamma(x)~=\int_0^{\infty}t^{x-1}~e^{-t}~dt\]

Noter la relation de récurrence : \(\Gamma(x+1)~=~x~\Gamma(x)\)

Ou encore, moyennant un changement de variable : \[(x-1)~\Gamma(x-1)~=~\Gamma(x)\]

Avec des nombres entiers ou demi-entiers  \[\Gamma(n+1)~=~n!\]

Formule des compléments : \[\Gamma(p)~\Gamma(1-p)~=~\frac{\pi}{\sin p~\pi}\]

Noter les deux formes initiales : \[\begin{aligned} \Gamma(1)~&=~\int_0^{\infty}e^{-t}~dt=1\\ \Gamma(1/2)~&=~\int_0^{\infty}~e^{-1/2}~e^{-t}~dt~=~\sqrt{\pi}\end{aligned}\]

3.2. Fonctions de type II

Pour rappel, ces fonctions \(\beta(p,q)\) sont définies par : \[\beta(p,q)~=~\int_0^1 t^{p-1}~(1-t)^{q-1}~dt \qquad;\qquad \beta(p,q)~=~\beta(q,p)\]

Autre expression : \[\beta(p,q)~=~2\int_0^{\pi/2}\cos^{2p-1}~\alpha~\sin^{2q-1}~\alpha~d\alpha\]

Relation entre les fonctions des deux types : \[\beta(p,q)~=~\frac{\Gamma(p)~\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}\]

4. Intégrales de Wallis

Les intégrales de Wallis sont du type : \[I_n~= \int_0^{\pi/2} \sin^n s~ds\]

Le changement de variable \(\sin s = \sqrt{t}\) permet de montrer que : \[I_n~=~\frac{1}{2}~\beta~\left(\frac{n+1}{2},~\frac{1}{2}\right)~ =~\frac{\sqrt{\pi}}{2}~\frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\Gamma (\frac{n}{2}+1)}\]

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