I. Intégrales eulériennes

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Intégrales eulériennes de première et de deuxième espèce. La formule des compléments. Intégrales de Wallis. Formules de Stirling.

1. Intégrales eulériennes de seconde espèce

Les intégrales eulériennes de seconde espèce sont représentées par la fonction Gamma : \[\Gamma(x)=\int_0^{\infty} e^{-t}~t^{x-1}~dt\]

L’expression intégrée converge à l’infini. En zéro, elle se comporte comme  \(t^{x-1}\).

On démontre qu’il y a convergence si : \(1-x<1\), donc \(\Gamma(x)\) est définie pour \(x>0\).

Théorème

\(\Gamma(x)\) est une fonction continue de \(x\). On démontre à cet effet que l’intégrale est normalement convergente, donc uniformément convergente.

Propriété fondamentale

Calculons \(\Gamma(x+1)\) : \[\Gamma(x+1)=\int_0^{\infty} e^{-t}~t^x~dt\]

En intégrant par parties : \[u=t^x\quad;\quad dv=e^{-t}~dt\]

on obtient la relation de récurrence : \[\Gamma(x+1)=x~\Gamma(x)\]

Conséquences

1) Si on fait \(x=n\) entier positif : \[\Gamma(n+1)=n~\Gamma(n)=n !\]

2) Si on fait \(x=1/2\) et faisant le changement de variable \(t=u^2\) : \[\Gamma(1/2)=2~\int_0^{\infty}e^{-u^2}~du=\sqrt{\pi}\]

2. Intégrales eulériennes de première espèce

Les intégrales eulériennes de première espèce sont représentées par la fonction béta : \[\beta(p,~q)=\int_0^1~t^{p-1}~(1-t)^{q-1}~dt\]

Domaine de définition

Quand \(t~\rightarrow~0\), la fonction à intégrer équivaut à \(t^{~p-1}\) ou \(\cfrac{1}{t^{~1-p}}\) .

Il n’y a convergence que si  \(1-p<1\), c’est-à-dire \(p>0\).

Une relation importante, en faisant le changement de variable \((t=1-u)\) : \[\beta(p,~q)=\beta(q,~p)\qquad\qquad\text{convergence si}~~q>0\]

Autre expression de \(\beta\) à partir du changement de variable \((t=\cos^2\theta)\) : \[\beta(p,~q)=2~\int_0^{\pi/2}\cos^{2p-1}\theta~\sin^{2q-1}\theta~d\theta\]

Relation avec \(\Gamma\)

On part de : \[\Gamma(p)=\int_0^{\infty}~e^{-t}~t^{p-1}~dt\]

Avec le changement de variable \(t=u^2\),
avec le passage aux coordonnées polaires : {\(x=\rho~\cos\theta,~y=\rho~\sin\theta\)},
et tous calculs faits : \[\beta(p,~q)=\frac{\Gamma(p)~\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}\]

Application \[I=\int_0^1t^{1/2}~(1-t)^{3/2}~dt\]

On a ici \(1/2~\rightarrow~(p-1)\)  et  \(3/2~\rightarrow~(q-1)\)

Intégrale prenant la forme : \(\beta\Big(\cfrac{3}{2},~\cfrac{5}{2}\Big)\)

On a donc, tous calculs faits : \[I=\frac{\Big\{\cfrac{1}{2}~\Gamma\Big(\cfrac{1}{2}\Big)\Big\}~\Big\{\cfrac{3}{2}~\cfrac{1}{2}~\Gamma\Big(\cfrac{1}{2}\Big)\Big\}}{3~!}=\frac{\pi}{16}\]

3. La formule des compléments

On note tout d’abord que \(0!=1\), c’est-à-dire que \(\Gamma(1)=1\).

On s’intéresse au calcul de \(\Gamma(p)~\Gamma(1-p)\). En notant que, dans le cas présent, \(q=1-p\) ou \(p+q=1\), la relation de la fonction \(\beta\) à la fonction \(\Gamma\) permet d’écrire (\(0<p<1\)) : \[\Gamma(p)~\Gamma(1-p)=\beta(p~,1-p)=\int_0^1t^{p-1}~(1-t)^{1-p}~dt\]

On effectue le changement de variable pour l’intégration : \[t=\frac{u}{1+u}\]

Tous calculs faits : \[\Gamma(p)~\Gamma(1-p)=\frac{\pi}{\sin p~\pi}\]

Remarque 1

Si on fait \(p=1/2\) : \[\Gamma\Big(\frac{1}{2}\Big)=\frac{\pi}{\sin\pi/2}\]

on retrouve : \[\Gamma\Big(\frac{1}{2}\Big)=\sqrt{\pi}\]

Remarque 2

Le calcul de l’intégrale : \[K=\int_0^{\infty}\frac{dx}{1+x^4}\]

est ramené à celui de : \[K=\frac{1}{4}\int_0^1~t^{-3/4}~(1-t)^{-1/4}~dt\]

après avoir posé successivement \(x^4=u(0,~\infty)\), puis \(u=\cfrac{t}{1+t}(0,~1)\).

4. Intégrales de Wallis

Les intégrales de Wallis sont du type : \[I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^nx~dx\]

Après le changement de variable opératoire :  \(\sin x=\sqrt{t}\), on obtient, tous calculs faits :

\[\begin{aligned} &I_n=\frac{1}{2}\int_0^1 t^{(n-1)/2}~(1-t)^{-1/2}~dt\\ &I_n=\frac{1}{2}~\beta\Big(\frac{n-1}{2},~\frac{1}{2}\Big) =\frac{1}{2}~\frac{\Gamma\Big(\cfrac{n+1}{2}\Big)~\sqrt{\pi}}{\Gamma\Big(\cfrac{n}{2}+1\Big)} \qquad\text{formule valable pour tout }n\end{aligned}\]

Cas particuliers intéressants

\(n\) pair (\(n=2~q\)) : \[I_{2q}=\frac{\pi}{2}~\frac{(2~q)!}{2^{2q}~(p!)^2} =\frac{\pi}{2}~\frac{(2~q-1)!!}{(2~q)!!}\]

\(n\) impair (\(n=2~q+1\)) : \[I_{2q+1}=\frac{2^{2q}~(q!)^2}{(2~q+1)!} =\frac{(2~q)!!}{(2~q+1)!!}\]

La notation \(n!!\) désignant la bi-factorielle :\(\quad n!!= 1\times 3\times 5\times 7\times\dots\)

5. Formule de Stirling

La formule de Stirling réalise une approximation de la factorielle \(n!\).

Recherche intuitive

Comparons la relation : \[\ln(n!)=\ln(1)+\ln(2)+\dots+\ln(n)\]

à la relation intégrale : \[\int_1^n \ln(x)~dx = n~\ln(n)-n +1\]

On est conduit à l’égalité : \[n~\ln(n)-n+1~\approx~\ln(n!)-\frac{1}{2}~\ln(n)\]

\(n\) étant grand, le terme \(1\) est négligeable.

Tous calculs faits, l’égalité devient : \[n!~\approx~n^n~e^{-n}~\sqrt{n}\]

Approche plus rigoureuse

Introduisons une fonction \(f(n)\) telle que : \[n!=n^n~e^{-n}~\sqrt{n}~f(n)\]

et recherchons la limite \(A\) quand \(n~\rightarrow~\infty\).

Le calcul rigoureux (convergence de la série) donne à \(A=\sqrt{2\pi}\).

Il conduit à deux formules comparables : \[\begin{aligned} &n!=n^n~e^{-n}~\sqrt{2\pi~n}~(1+\varepsilon)\\ &n!=n^n~e^{-n}~\sqrt{2\pi~n}~\Big(1+\frac{1+\varepsilon}{12~n}\Big) \end{aligned} \qquad\varepsilon~\rightarrow~0~~\text{quand}~~n\rightarrow~\infty\]

Exemple

Il peut être intéressant de comparer les deux formules pour la valeur \(n=20\) qui n’est en fait pas spécialement grand :

  • le calcul exact donne : \(20!=(2432)902008176640000\) ;

  • le calcul à partir de la première formule de Stirling donne : \(20!=(2422)\dots\) ;

  • le calcul à partir de la deuxième formule de Stirling donne : \(20!=(2432)881\dots\), donc une meilleure approximation.

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