I. Intégrales eulériennes

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Les intégrales eulériennes de seconde espèce sont représentées par la fonction Gamma : \[\Gamma(x)=\int_0^{\infty} e^{-t}~t^{x-1}~dt\]

L’expression intégrée converge à l’infini. En zéro, elle se comporte comme  \(t^{x-1}\).

On démontre qu’il y a convergence si : \(1-x<1\), donc \(\Gamma(x)\) est définie pour \(x>0\).

Théorème

\(\Gamma(x)\) est une fonction continue de \(x\). On démontre à cet effet que l’intégrale est normalement convergente, donc uniformément convergente.

Propriété fondamentale

Calculons \(\Gamma(x+1)\) : \[\Gamma(x+1)=\int_0^{\infty} e^{-t}~t^x~dt\]

En intégrant par parties : \[u=t^x\quad;\quad dv=e^{-t}~dt\]

on obtient la relation de récurrence : \[\Gamma(x+1)=x~\Gamma(x)\]

Conséquences

1) Si on fait \(x=n\) entier positif : \[\Gamma(n+1)=n~\Gamma(n)=n !\]

2) Si on fait \(x=1/2\) et faisant le changement de variable \(t=u^2\) : \[\Gamma(1/2)=2~\int_0^{\infty}e^{-u^2}~du=\sqrt{\pi}\]

1. Intégrales eulériennes de première espèce

Les intégrales eulériennes de première espèce sont représentées par la fonction béta : \[\beta(p,~q)=\int_0^1~t^{p-1}~(1-t)^{q-1}~dt\]

Domaine de définition

Quand \(t~\rightarrow~0\), la fonction à intégrer équivaut à \(t^{~p-1}\) ou \(\cfrac{1}{t^{~1-p}}\) .

Il n’y a convergence que si  \(1-p<1\), c’est-à-dire \(p>0\).

Une relation importante, en faisant le changement de variable \((t=1-u)\) : \[\beta(p,~q)=\beta(q,~p)\qquad\qquad\text{convergence si}~~q>0\]

Autre expression de \(\beta\) à partir du changement de variable \((t=\cos^2\theta)\) : \[\beta(p,~q)=2~\int_0^{\pi/2}\cos^{2p-1}\theta~\sin^{2q-1}\theta~d\theta\]

Relation avec \(\Gamma\)

On part de : \[\Gamma(p)=\int_0^{\infty}~e^{-t}~t^{p-1}~dt\]

Avec le changement de variable \(t=u^2\),
avec le passage aux coordonnées polaires : {\(x=\rho~\cos\theta,~y=\rho~\sin\theta\)},
et tous calculs faits : \[\beta(p,~q)=\frac{\Gamma(p)~\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}\]

Application \[I=\int_0^1t^{1/2}~(1-t)^{3/2}~dt\]

On a ici \(1/2~\rightarrow~(p-1)\)  et  \(3/2~\rightarrow~(q-1)\)

Intégrale prenant la forme : \(\beta\Big(\cfrac{3}{2},~\cfrac{5}{2}\Big)\)

On a donc, tous calculs faits : \[I=\frac{\Big\{\cfrac{1}{2}~\Gamma\Big(\cfrac{1}{2}\Big)\Big\}~\Big\{\cfrac{3}{2}~\cfrac{1}{2}~\Gamma\Big(\cfrac{1}{2}\Big)\Big\}}{3~!}=\frac{\pi}{16}\]

2. Formule des compléments

On note tout d’abord que \(0!=1\), c’est-à-dire que \(\Gamma(1)=1\).

On s’intéresse au calcul de \(\Gamma(p)~\Gamma(1-p)\). En notant que, dans le cas présent, \(q=1-p\) ou \(p+q=1\), la relation de la fonction \(\beta\) à la fonction \(\Gamma\) permet d’écrire (\(0<p<1\)) : \[\Gamma(p)~\Gamma(1-p)=\beta(p~,1-p)=\int_0^1t^{p-1}~(1-t)^{1-p}~dt\]

On effectue le changement de variable pour l’intégration : \[t=\frac{u}{1+u}\]

Tous calculs faits : \[\Gamma(p)~\Gamma(1-p)=\frac{\pi}{\sin p~\pi}\]

Remarque 1

Si on fait \(p=1/2\) : \[\Gamma^2\Big(\frac{1}{2}\Big)=\frac{\pi}{\sin\pi/2}\]

on retrouve : \[\Gamma\Big(\frac{1}{2}\Big)=\sqrt{\pi}\]

Remarque 2

Le calcul de l’intégrale : \[K=\int_0^{\infty}\frac{dx}{1+x^4}\]

est ramené à celui de : \[K=\frac{1}{4}\int_0^1~t^{-3/4}~(1-t)^{-1/4}~dt\]

après avoir posé successivement \(x^4=u(0,~\infty)\), puis \(u=\cfrac{t}{1+t}(0,~1)\).

3. Intégrales de Wallis

Les intégrales de Wallis sont du type : \[I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^nx~dx\]

Après le changement de variable opératoire :  \(\sin x=\sqrt{t}\), on obtient, tous calculs faits : \[\begin{aligned} &I_n=\frac{1}{2}\int_0^1 t^{(n-1)/2}~(1-t)^{-1/2}~dt\\ &I_n=\frac{1}{2}~\beta\Big(\frac{n-1}{2},~\frac{1}{2}\Big) =\frac{1}{2}~\frac{\Gamma\Big(\cfrac{n+1}{2}\Big)~\sqrt{\pi}}{\Gamma\Big(\cfrac{n}{2}+1\Big)} \qquad\text{formule valable pour tout }n\end{aligned}\]

Cas particuliers intéressants

\(n\) pair (\(n=2~q\)) : \[I_{2q}=\frac{\pi}{2}~\frac{(2~q)!}{2^{2q}~(p!)^2} =\frac{\pi}{2}~\frac{(2~q-1)!!}{(2~q)!!}\]

\(n\) impair (\(n=2~q+1\)) : \[I_{2q+1}=\frac{2^{2q}~(q!)^2}{(2~q+1)!} =\frac{(2~q)!!}{(2~q+1)!!}\]

La notation \(n!!\) désignant la bi-factorielle :\(\quad n!!= 1\times 3\times 5\times 7\times\dots\)

4. Formule de Stirling

La formule de Stirling réalise une approximation de la factorielle \(n!\).

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Recherche intuitive

Comparons la relation : \[\ln(n!)=\ln(1)+\ln(2)+\dots+\ln(n)\]

à la relation intégrale : \[\int_1^n \ln(x)~dx = n~\ln(n)-n +1\]

On est conduit à l’égalité : \[n~\ln(n)-n+1~\approx~\ln(n!)-\frac{1}{2}~\ln(n)\]

\(n\) étant grand, le terme \(1\) est négligeable.

Tous calculs faits, l’égalité devient : \[n!~\approx~n^n~e^{-n}~\sqrt{n}\]

Approche plus rigoureuse

Introduisons une fonction \(f(n)\) telle que : \[n!=n^n~e^{-n}~\sqrt{n}~f(n)\]

et recherchons la limite \(A\) quand \(n~\rightarrow~\infty\).

Le calcul rigoureux (convergence de la série) donne à \(A=\sqrt{2\pi}\).

Il conduit à deux formules comparables : \[\begin{aligned} &n!=n^n~e^{-n}~\sqrt{2\pi~n}~(1+\varepsilon)\\ &n!=n^n~e^{-n}~\sqrt{2\pi~n}~\Big(1+\frac{1+\varepsilon}{12~n}\Big) \end{aligned} \qquad\varepsilon~\rightarrow~0~~\text{quand}~~n\rightarrow~\infty\]

Exemple

Il peut être intéressant de comparer les deux formules pour la valeur \(n=20\) qui n’est en fait pas spécialement grand :

  • le calcul exact donne : \(20!=(2432)902008176640000\) ;

  • le calcul à partir de la première formule de Stirling donne : \(20!=(2422)\dots\) ;

  • le calcul à partir de la deuxième formule de Stirling donne : \(20!=(2432)881\dots\), donc une meilleure approximation.

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