III. Tenseurs particuliers. Symétrie et antisymétrie

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Tenseurs et formes multilinéaires symétriques. Tenseurs et formes multilinéaires symétriques.

1. Tenseurs et formes multilinéaires symétriques

On dit qu’une forme multilinéaire \(f(\overrightarrow{X},~\overrightarrow{Y},~\overrightarrow{Z})\) est symétrique si elle reste invariante lorsqu’on effectue une permutation quelconque des vecteurs \(\overrightarrow{X},~\overrightarrow{Y},~\overrightarrow{Z}\).

Pour pouvoir effectuer cette permutation, il faut supposer que ces vecteurs appartiennent tous à \(E_n\) ou à son dual \(E_n^*\).

Supposons par exemple ces vecteurs covariants et, pour simplifier l’écriture, considérons la forme bilinéaire : \[f(\overrightarrow{X},~\overrightarrow{Y})=t^{ij}~x_i~x_j\]

Si \(f(\overrightarrow{X},~\overrightarrow{Y})\) est symétrique : \[f(\overrightarrow{Y},~\overrightarrow{X})=f(\overrightarrow{X},~\overrightarrow{Y})\qquad\text{alors}\quad t^{ij}~x_i~y_j=t^{ij}~y_i~x_j\]

Or, en permutant les indices muets du second membre, on peut écrire : \[t^{ij}~y_i~x_j=t^{ji}~y_j~x_i\]

Par suite de l’identité en \(\overrightarrow{X}\) et \(\overrightarrow{Y}\) : \[t^{ij}~x_i~y_j=t^{ji}~y_j~x_i\quad\Rightarrow\quad t^{ij}=t^{ji}\]

Les coefficients de cette forme constituent les composantes d’un tenseur symétrique.

Plus généralement, si les composantes d’un tenseur \(t_{ij}^{klm}\) ne changent pas lorsque l’on effectue une permutation quelconque sur \(p\) de ses indices de même variance (sans toucher aux autres), ce tenseur est dit symétrique par rapport à ces \(p\) indices.

Un tenseur symétrique reste symétrique dans un changement de repère.

En effet, si \(t^{ij}\) est symétrique : \[T^{uv}=b_i^u~b_j^v~t^{ij}=b_j^v~b_i^u~t^{ji}=T^{vu}\]

Remarque

Si, dans la forme bilinéaire symétrique \(f(\overrightarrow{Y},~\overrightarrow{X})=f(\overrightarrow{X},~\overrightarrow{Y})\), on fait \(\overrightarrow{Y}=\overrightarrow{X}\), on obtient univoquement la forme quadratique : \[f(\overrightarrow{X},~\overrightarrow{X})=t^{ij}~x_i~x_j\]

Réciproquement, à toute forme quadratique : \[f(\overrightarrow{X},~\overrightarrow{X})=u^{ij}~x_i~x_j\]

on peut faire correspondre univoquement une forme bilinéaire symétrique.

En effet, on peut écrire : \[f(\overrightarrow{X},~\overrightarrow{X})=\frac{1}{2}~(u^{ij}+u^{ji})~x_i~x_j\]

Par suite, la forme : \[f(\overrightarrow{X},~\overrightarrow{Y})=\frac{1}{2}~(u^{ij}+u^{ji})~x_i~y_j\]

est symétrique.

Le raisonnement précédent s’étend à une forme multilinéaire symétrique quelconque.

2. Tenseurs et formes multilinéaires antisymétriques

Une forme multilinéaire des vecteurs \(\overrightarrow{X},~\overrightarrow{Y},~\overrightarrow{Z}\) (pris tous dans \(E_n\) ou dans son dual \(E_n^*\) ) est antisymétrique ou symétrique gauche si elle reste invariante pour toute permutation paire de ces vecteurs et si elle change de signe pour toute permutation impaire.

On dit encore que c’est une forme extérieure ou alternée. Le tenseur correspondant est dit antisymétrique ou symétrique gauche.

Par exemple, la forme : \[f(\overrightarrow{X},~\overrightarrow{Y})=t^{ij}~x_i~y_j\]

est antisymétrique si l’on a identiquement : \[t^{ij}~x_i~y_j=-t^{ji}~x_i~y_j\]

d’où : \[t^{ij}=-t^{ji}\quad\text{et}\quad t^{ii}=0\]

Plus généralement, on dit qu’un tenseur \(t_{ij}^{klm}\) est antisymétrique par rapport à ses indices \(k,l,m\) de même variance si ses composantes ne changent pas lorsqu’on effectue sur ces indices (sans toucher aux autres) une permutation paire et si elles changent de signe lorsqu’on effectue sur \(k,~l,~m\) une permutation impaire.

Un tenseur antisymétrique reste évidemment antisymétrique dans un changement de base. La vérification est analogue à celle qui a été faite pour un tenseur symétrique.

Exemple de tenseur antisymétrique

On appelle produit extérieur de deux vecteurs contravariants \(\overrightarrow{X}=\{x^1,~\dots,~x^n\}\) et \(\overrightarrow{Y}=\{y^1,~\dots,~y^n\}\) le tenseur \(\overrightarrow{X}\wedge\overrightarrow{Y}\) de composantes : \[p^{ij}=x^i~y^j-y^i~x^j\]

Il est clair que tout tenseur contravariant symétrique gauche d’ordre deux de l’espace affine à trois dimensions peut être identifié d’une infinité de façons au produit extérieur de deux vecteurs de cet espace.

En effet, si l’on s’impose les trois valeurs distincts des \(p^{ij}\), le système : \[p^{ij}=x^i~y^j-y^i~x^j\]

où les inconnues sont les trois \(x\) et les trois \(y\) peut être résolu de la façon suivante :

On choisit arbitrairement les \(x^i\), liés toutefois par la relation : \[x^1~p^{23}+x^2~p^{31}+x^3~p^{12} = 0\]

On peut alors résoudre ce système par rapport aux \(y^i\).

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