I. Espaces de Hilbert. Rappels préliminaires

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Quelques rappels sur les espaces vectoriels normés. Applications linéaires et continues. Produit scalaire au sens large. Formes hermitiennes. Inégalité de Schwartz.

1. Espaces vectoriels normés

Une norme sur un espace vectoriel E est une application de E dans \(\mathbb{R}\) (espace des réels) possédant les propriétés suivantes :

\[\begin{aligned} ||x||&\geq 0 &&\forall x\in E\\ ||x||&=0\quad \Leftrightarrow\quad x=0 &&\forall x\in E\\ ||\lambda x||&=|\lambda|.||x|| && \forall x\in E,~\forall\lambda\in \mathbb{R}\\ ||x+y||&\leq ||x||+||y|| && \forall x\in E,~\forall y\in E\end{aligned}\]

La dernière forme exprime l’inégalité triangulaire.

Il en résulte que : \[d(x,y)=||x-y||\]

est une distance qui vérifie :

\[\begin{aligned} d(x,y) &\leq d(x,z)+d(z,y)\\ d(\lambda x,\lambda y) &\leq |\lambda|.d(x,y)\end{aligned}\]

2. Applications linéaires et continues

Soient E et F deux espaces vectoriels normés et \(u\) une application linéaire de E dans F. L’action de \(u\) sur un vecteur \(x\in E\) est notée \(u(x)\) ; elle est parfois écrite directement \(u.x\) pour alléger l’écriture.

Si E = F, alors \(u\) est appelé opérateur linéaire ou plus simplement opérateur. Pour que \(u\) soit continue, il faut et il suffit que \(u\) soit continue à l’origine.

Théorème 1

Pour que \(u\) soit continue, il faut et il suffit qu’il existe un nombre \(m>0\) tel que : \[\forall x\in E \qquad ||u(x)|| \leq m.||x||\]

L’espace vectoriel des applications linéaires et continues de E dans F se note L(E,F) et plus simplement L(E) si E = F.

Théorème 2

Soient E, F, G trois espaces vectoriels et les applications linéaires \(u\in L(E,F)\) et \(v\in L(F,G)\). On peut écrire concernant l’application composée : \[v\circ u \in L(E,G)\qquad \text{et}\qquad ||v\circ u|| \leq ||v||.||u||\]

Théorème 3

Pour que deux normes \(||~||_1\) et \(||~||_2\) sur un espace vectoriel E soient équivalentes, il faut et il suffit qu’il existe deux constantes \(a>0,~b>0\) telles que : \[||x||_1\leq a.||x||_2 \qquad \text{et}\qquad ||x||_2\leq b.||x||_1 \qquad \forall x\in E\]

3. Produit scalaire

3.1. Formes hermitiennes

Une forme hermitienne sur un espace vectoriel E complexe (resp. réel) est une application \(f\) de \(E\times E\) sur \(\mathbb{C}\) (resp. \(\mathbb{R}\)) vérifiant :

\[\begin{aligned} f(x+x',y)&=f(x,y)+f(x',y) &x',~x,~y &\in E \\ f(x,\lambda x)&=\lambda .f(x,y) &\lambda &\in \mathbb{C} \\ \overline{f(y,x)}&=f(x,y)\end{aligned}\]

NB : \(\overline{z}\) est la conjugaison complexe de \(z=ai+b\) dans \(\mathbb{C}~:~\overline{z}=ai-b\)

Il en résulte que :

\[\begin{aligned} f(x,y+y')&=f(x,y)+f(x,y')\\ f(\lambda .x)&=\overline{\lambda}.f(x,y)\end{aligned}\]

La convention utilisée est celle de la physique : \(f\) est linéaire par rapport à la deuxième variable.

Si E est réel, \(f\) est une forme bilinéaire symétrique.

Deux vecteurs \(x,y\) sont orthogonaux par rapport à la forme hermitienne \(f\) si \(f(x,y)=0\) . On écrit dans ce cas \(x\bot y\) . Un vecteur isotrope est un vecteur \(x\) tel que \(f(x,x)=0\).

Forme hermitienne positive

Une forme hermitienne sur un espace vectoriel E est positive si : \[f(x,x)\geq 0\qquad \forall x\in E\]

3.2. Inégalité de Schwartz. Inégalité triangulaire

Si \(f\) est une forme hermitienne positive, alors : \[{|f(x,y)|}^2\leq f(x,x).f(y,y)\qquad \forall (x,y)\in E\times E\]

On a donc dans ce cas : \[\sqrt{f(x+y,x+y)}\leq 2\sqrt{f(x,x).f(y,y)}\]

Ce résultat découle de l’inégalité de Schwartz : \[f(x,y)+f(y,x)=2~Re\{f(x,y)\}\leq 2|f(x,y)| \leq 2\sqrt{f(x,x).f(y,y)}\]

3.3. Produit scalaire

Une forme hermitienne positive non dégénérée s’appelle produit scalaire, avec les deux notations possibles :

\[\begin{aligned} E\times E \quad &\rightarrow \quad \mathbb{C}\\ (x,y)\quad &\rightarrow \quad (x|y)\\ (x,y)\quad &\rightarrow \quad <x|y>\end{aligned}\]

Il lui correspond une norme définie par : \[||x||=\sqrt{(x,x)}\]

Et l’inégalité de Schwartz : \[||(x,y)|| \leq ||x||.||y||\]

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