IV. Principe de Maupertuis. Vers la mécanique relativiste

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Principe de Maupertuis. Application du principe au point matériel. De la mécanique classique à la mécanique relativiste : principe d'action (point matériel, calcul du Hamiltonien relativiste.

1. Principe de Maupertuis

Selon le principe de Hamilton, on recherche une trajectoire \(S\) optimale : \[S=\int_{t_1}^{t_2} L~dt\qquad\text{avec}\quad\delta S=0\]

Nous supposerons que \(L(q^i,~\dot{q}^i)=cte\), c’est-à-dire que le système évolue à énergie constante.

On sait que : \[L=T-U\qquad;\qquad E=T+U\qquad;\qquad L=2~T-E\]

On a alors : \[S=\int_{t_1}^{t_2}(2~T-E)~dt=\int_{t_1}^{t_2} 2~T~dt-E(t_2-t_1)\]

Écrire que \(\delta S=0\) revient à écrire ici que : \[\delta\int_{t_1}^{t_2} 2~T~dt=0\]

On posera : \[\Phi=\int_{t_1}^{t_2} 2~T~dt\]

C’est par définition l’action de Maupertuis.

Le principe se traduit donc par le fait que la trajectoire correspond à \(\delta\Phi=0\). Il correspond à un principe de Hamilton tronqué.

À titre indicatif : Maupertuis (1780) et Hamilton (1840).

2. Application du principe de Maupertuis au point matériel

L’espace de configuration est \(\mathbb{R}^3(x,~y,~z)\) : \[2~T=m~v^2=m~v~v=m~v~\frac{ds}{dt}\]

On peut donc écrire : \[\Phi=\int_{M_1}^{M_2}m~v~ds\]

Comme on a : \[E=T+U\quad;\quad 2~E=m~v^2+2~U\quad;\quad m~v=\sqrt{2~m~(E-U)}\]

Il vient : \[\Phi=\int_{M_1}^{M_2}\sqrt{2~m~(E-U)}~ds\]

Dans le cas du point matériel libre \((U = 0)\), la vitesse est constante : \[\Phi=\int_{M_1}^{M_2}\delta s\quad\Rightarrow\quad\delta\Phi=0\]

La trajectoire est donc une droite.

Il existe une certaine analogie entre le principe de Fermat et le principe de moindre action de Maupertuis.

– Dans le cas du principe de Fermat : \[\delta\int_{t_1}^{t_2}dt=0\qquad\text{c'est-à-dire :}\quad\int_{M_1}^{M_2}\frac{ds}{u}=0\qquad~\text{u~: vitesse de la lumière (phase)}\]

– Dans le cas du principe de Maupertuis : \[\delta\int_{M_1}^{M_2} m~v~ds=0\]

On peut opérer une fusion des deux principes en posant à priori : \[m~v=\frac{K}{u}\]

la constante \(K\) ayant les dimensions d’une énergie.

Faisons l’hypothèse de Planck : \[K=E=h~\nu\qquad;\qquad m~v=\frac{h~\nu}{u}\]

D’après la relation de de Broglie : \[\lambda=\frac{u}{\nu}=\frac{h}{m~v}\]

L’onde correspondante doit vérifier : \[\Delta\Psi=\frac{1}{u^2}~\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}\]

Cette onde est de la forme : \[\Psi(t)=A~\exp\Big\{j~2~\pi~\nu~\Big(t-\frac{x}{u}\big)\Big\}\]

Après double dérivation : \[\Delta\Psi=-\frac{4~\pi^2~\nu^2}{u^2}~\Psi=-4~\pi^2~\frac{m^2~v^2}{h^2}\]

Par ailleurs : \[m~v=\sqrt{2~m~(E-U)}\]

On a donc : \[\Delta\Psi+\frac{8~\pi^2~m~(E-U)}{h^2}~\Psi=0\qquad\text{équation de Schrödinger}\]

3. De la mécanique classique à la mécanique relativiste

3.1. Point matériel : le principe d’action

On sait que :

\[\begin{aligned} &ds^2=c^2~dt^2-\sum_{i=1}^{i=3}(dx^i)^2=cte\\ &ds^2=c^2~dt^2-v^2~dt^2=c^2~dt^2~\Big(1-\frac{v^2}{c^2}\Big)\end{aligned}\]

On a donc : \[ds=c~dt~\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\]

Par suite : \[S=k\int_{s_1}^{s_2} ds=k~c\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}~dt\]

Le lagrangien a pour expression : \[L=k~c~\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\]

À vitesse faible, on doit retrouver les résultats de la théorie classique : \[L=k~c-\frac{1}{2}~k~c~\frac{v^2}{c^2}+\cdots\]

On remarque que l’on peut écrire : \[k~c=\frac{d}{dt}(k~c~t)\]

Comme il s’agit d’une expression dérivée, on peut prendre comme lagrangien : \[L=-\frac{1}{2}~k~c~\frac{v^2}{c^2}+\cdots\qquad \text{avec : }~k=-m_0~c\]

On a alors : \[L=-m_0~c^2~\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\]

En se plaçant à une dimension (\(v=\dot{x}\)) : \[F_x=\frac{d}{dt}\Big(\frac{\partial L}{\partial\dot{x}}\Big)-\frac{\partial L}{\partial x}\]

On a : \[p=\frac{\partial L}{\partial\dot{x}}=\frac{\partial L}{\partial v} =-m_0~c^2~\frac{(-v^2/c^2)}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=\frac{m_0~v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\]

On retrouve la relation : \[m=\frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\]

Ou encore : \[F=\frac{d}{dt}\Big(\frac{m_0v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\Big)\]

3.2. Calcul du hamiltonien relativiste

Par définition : \[H=p_i~\dot{q}^i-L=\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{v}-L\]

Donc : \[H=\frac{m_0~v^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}+m_0~c^2~\sqrt{1-v^2/c^2}\]

Par suite : \[H=\frac{m_0~v^2+m_0~c^2~\sqrt{1-v^2/c^2}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=\frac{m_0~c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=m~c^2\]

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