I. Vecteurs et torseurs. Rappels

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Définitions. Vecteur glissant. Moments. Systèmes de vecteurs glissants : torseurs. Systèmes particuliers de vecteurs.

1. Premières définitions

Le trièdre trirectangle de référence \(Oxyz\) est dit de sens direct si, pour un observateur adossé à l’axe \(Oz\), le sens de \(Ox\) vers \(Oy\) est celui inverse des aiguilles d’une montre.

1.1. Vecteurs

Un vecteur libre \(\overrightarrow{V}\) est défini par trois composantes \((X,Y,Z)\) dans l’espace \(\mathbb{R}^3\).

Un vecteur glissant est l’ensemble constitué par une droite \(D\) et un vecteur libre \(\overrightarrow{V}(X,Y,Z)\) parallèle à la droite ou porté par la droite. La droite \(D\) est appelée support du vecteur glissant.

Un vecteur lié est repéré par un point origine \(A\) et un vecteur libre \(\overrightarrow{V}\) directionnel. Nous les noterons respectivement : \(A(x_A,y_A,z_A)\) et \(\overrightarrow{V}(X,Y,Z)\).

On dit que deux vecteurs liés sont équipollents (ou égaux) quand ils ont les mêmes composantes.

Le point \(B\), extrémité du vecteur lié a pour coordonnées : \[x_B=x_A+X\quad;\quad y_B=y_A+Y\quad;\quad z_B=z_A+Z\]

Ce vecteur lié peut être représenté de deux façons : \(\overrightarrow{AB}\) ou par \(AB\). La deuxième est très souvent utilisée pour une simplification d’écriture dans les expressions analytiques.

1.2. Produits de vecteurs

Soient deux vecteurs libres \(\overrightarrow{V_1}(X_1,X_2,X_3)\) et \(\overrightarrow{V_2}(Y_1,Y_2,Y_3)\).

Le produit scalaire a pour expression :

\[\begin{aligned} \overrightarrow{V_1}.\overrightarrow{V_2}&=X_1X_2+Y_1Y_2+Z_1Z_2 \\ \overrightarrow{V_1}.\overrightarrow{V_2}&=\|\overrightarrow{V_1}\|~\|\overrightarrow{V_2}\|~\cos \theta\end{aligned}\]

Leur produit vectoriel \(\overrightarrow{V_1}\wedge\overrightarrow{V_2}\) est orthogonal à \(\overrightarrow{V_1}\) et à \(\overrightarrow{V_2}\). Il a pour composantes : \[Y_1Z_2-Y_2Z_1\quad;\quad Z_1X_2-Z_2X_1\quad;\quad X_1Y_2-X_2Y_1\] \[\|\overrightarrow{V_1}\wedge\overrightarrow{V_2}\|=\|\overrightarrow{V_1}\|~\|\overrightarrow{V_2}\|~|\sin \theta|\]

Le produit mixte (qui est donc un scalaire) : \[\overrightarrow{V_1}.(\overrightarrow{V_2}\wedge\overrightarrow{V_3})~=~\overrightarrow{V_2}.(\overrightarrow{V_3}\wedge\overrightarrow{V_1})~=~\overrightarrow{V_3}.(\overrightarrow{V_1}\wedge\overrightarrow{V_2})\]

a la valeur d’un déterminant : \[\begin{vmatrix} X_1&Y_1&Z_1\\ X_2&Y_2&Z_2\\ X_3&Y_3&Z_3 \end{vmatrix}\]

Enfin, le double produit vectoriel (qui est un vecteur) : \[\overrightarrow{W}=\overrightarrow{V_1}\wedge(\overrightarrow{V_2}\wedge\overrightarrow{V_3})=\overrightarrow{V_2}(\overrightarrow{V_3}.\overrightarrow{V_1})-\overrightarrow{V_3}(\overrightarrow{V_1}.\overrightarrow{V_2})\]

2. Moment

On appelle moment d’un vecteur lié \(AB\) par rapport à un point \(O\) le vecteur lié \(OG\), d’origine \(O\), équipollent au produit vectoriel \(OA\wedge AB\).

Le moment \(OG\) et le vecteur \(AB\) sont donc orthogonaux.

Ce moment est donc nul si \(AB\) est nul ou si \(O\) est situé sur le support de \(AB\).

2.1. Proposition 1

Le moment en \(O'\) d’un vecteur \(AB\) est la somme du moment en \(O\) du vecteur \(AB\) et du moment en \(O'\) du vecteur \(OC\) équipollent à \(AB\).

Ceci résulte du fait de la distributivité du produit vectoriel par rapport à l’addition vectorielle :

\[\begin{aligned} &\mathcal{M}_{O}(AB)=OG=OA\wedge AB\\ &\mathcal{M}_{O'}(AB)=O'G'=O'A\wedge AB=(O'O+OA)\wedge AB\\ &\mathcal{M}_{O'}(AB)=(O'O\wedge OC)+(OA\wedge AB)\end{aligned}\]

Donc : \[\mathcal{M}_{O'}(AB)=\mathcal{M}_{O'}(OC)+\mathcal{M}_{O}(AB)\]

En particulier, le moment ne change pas si le vecteur AB glisse sur sa droite support.

2.2. Proposition 2

Du fait de la propriété de distributivité, la somme des moments en \(O\) de plusieurs vecteurs glissants de supports concourants, est égale au moment en \(O\) de leur résultante (somme géométrique construite en ce point de concours) :

\[\begin{aligned} &\mathcal{M}_{O}(S)=(OP\wedge PA)+(OP\wedge PB)+ \dots +(OP\wedge PZ) \\ &\mathcal{M}_{O}(S)=OP\wedge(PA+PB+ \dots +PZ)=OP\wedge PS\end{aligned}\]

Les composantes du moment par rapport à l’origine d’un vecteur lié \(AB\) d’origine \(A(x,y,z)\) et de composantes \((X,Y,Z)\) résultent de l’expression analytique du produit vectoriel : \[L=yZ-zY~~;~~M=zX-xZ~~;~~N=xY-yX\]

Les composantes par rapport au point \(O'(x',y',z')\) en découlent :

\[\begin{aligned} &L'=(y-y')~Z-(z-z')~X=L-(y'Z-z'Y)\\ &M'=(z-z')~X-(x-x')~Z=M-(z'X-x'Z)\\ &N'=(x-x')~Y-(y-y')~X=N-(x'Y-y'X)\end{aligned}\]

Désignons par \(OG\) le moment du vecteur lié \(AB\) par rapport au point O.

Lorsque le point \(O\) décrit une droite \(\Delta\) de vecteur unitaire \(u\), la valeur du produit scalaire \(u\cdot OG\) demeure constante.

En effet, \(O\) et \(O'\) étant deux points de \(\Delta\), on a (d’après la dernière formule établie: \[O'G'=OG+O'O\wedge AB\]

Comme \(u~\bot~(O'O\wedge AB)\), on a pour le produit scalaire : \[u\cdot O'G'=u.(OG+O'O\wedge AB)=u\cdot OG\]

3. Systèmes de vecteurs glissants. Torseurs

Un système de vecteurs glissants \(A_iB_i\) est appelé un torseur.

Un torseur donné peut être défini en chaque point \(O\) de l’espace par ses éléments de réduction composés d’une résultante générale \(OR\) et d’un moment résultant \(OG\) : \[\mathcal{T} = \left\{ \begin{aligned} &OR=\sum_iA_iB_i &&\text{somme ou résultante du torseur} \\ &OG=\sum_iOA_i\wedge A_iB_i \quad &&\text{moment du torseur au point }O \end{aligned} \right.\]

Le moment résultant par rapport à une droite orientée est donc la somme des moments par rapport à la droite.

3.1. Propriétés

On a par ailleurs :

\[\begin{aligned} O'R&=OR &&(1)\\ O'G&=OG+O'O\wedge OR &&(2)\\ O'R'\cdot O'G'&=OR\cdot OG &&(3)\end{aligned}\]

La relation (2) montre que les moments résultants en \(O\) et \(O'\) sont équipollents si \(OR\) est nul ou bien si \(O'O\) et \(OR\) sont parallèles. Dans le premier cas, on voit que le moment résultant est une constante dans tout l’espace.

Les relations (1) et (3) montrent que lorsque le point \(O\) se déplace, le module de la résultante générale \(O'R\) et le produit scalaire \(OR\cdot OG\) demeurent invariants. Tout système de vecteurs glissants admet donc deux invariants : \(|OR|\) et \(OR\cdot OG\).

Le lieu des points P en lesquels le moment résultant est colinéaire à la résultante générale, supposée non nulle, est défini par l’équation : \[OR\wedge(OG+PO\wedge OR)=0\]

En effectuant le produit vectoriel à gauche par OR :

\[\begin{aligned} &OR\wedge(OR\wedge OG)+OR\wedge[OR\wedge(PO\wedge OR)]=0\\ &OR\wedge(OR\wedge OG-PO.OR^2)=0\end{aligned}\]

On en déduit (second vecteur nul ou colinéaire avec le premier): \[OP=\frac{OR\wedge OG}{OR^2}+\lambda~OR\]

On reconnaît l’expression analytique d’une droite parallèle à \(OR\), résultante générale. Elle est le lieu du point P.

Cette droite qui est indépendante du point \(O\) est l’axe central du torseur.

La distribution des moments résultants dans l’espace admet l’axe central comme axe de révolution.

3.2. Réduction d’un torseur

Réduire un torseur consiste à le remplacer par un torseur équivalent contenant moins de vecteurs.

Torseurs équivalents

Deux torseurs sont dits équivalents s’ils ont les mêmes éléments de réduction en un point (et finalement en tout point).

Les trois élémentaires qui suivent ne modifient ni la résultante générale, ni le moment résultant en un point :

  • glissement d’un vecteur sur son support ;

  • introduction ou suppression de deux vecteurs égaux et directement opposés ;

  • remplacement de plusieurs vecteurs concourants par leur résultante (ou décomposition d’un vecteur en plusieurs vecteurs concourants dont il est la résultante).

Un torseur est équivalent à zéro lorsque ses éléments de réduction sont nuls.

3.2.1. Vecteur unique

Un vecteur unique est un torseur dont l’invariant \(OR\cdot OG=0\) .

Réciproquement, si l’invariant d’un torseur \(OR\cdot OG=0\), et si l’invariant de ce torseur \(|OR|\neq 0\), la réduction en un point de l’axe central fait apparaître un vecteur unique.

3.2.2. Couple

Un torseur composé de deux vecteurs opposés est appelé un couple. La résultante générale d’un couple est nulle et son moment résultant est constant.

Ce moment résultant est un vecteur libre qui est appelé axe du couple.

Tout torseur dont l’invariant \(|OR|=0\) est équivalent à un couple. Il s’agit d’un couple proprement dit si \(OG\neq 0\) et d’un système nul si \(OG=0\).

Un torseur arbitraire d’éléments de réduction (\(OR,~OG\)) est équivalent à un torseur formé par le vecteur \(OR\) et par un couple d’axe \(OG\).

3.2.3. Réduction à deux vecteurs perpendiculaires

On peut toujours réduire un torseur à deux vecteurs dont l’un est situé dans un plan \((P)\), l’autre étant perpendiculaire à ce plan \((P)\).

En effet, considérons \(OR\) et \(OG\), deux éléments de réduction en un point O du plan P.

\(OR\) peut être décomposé en : \[OR_1\in(P)\qquad\text{et}\qquad OR_2~\bot~(P)\]

Il en est de même pour \(OG\) : \[OG_1~\bot~(P)\qquad\text{et}\qquad OG_2\in(P)\]

Le système \([OR_1,OG_1]\) est équivalent à un vecteur unique situé dans le plan \((P)\),

Le système \([OR_2,OG_2]\) est équivalent à un vecteur unique perpendiculaire au plan \((P)\).

4. Systèmes particuliers de vecteurs

4.1. Vecteurs coplanaires

Lorsque les vecteurs d’un torseur sont coplanaires, les éléments de réduction en un point O du plan sont perpendiculaires.

\[\begin{aligned} &OR\neq 0 &&\text{système équivalent à un vecteur unique}\\ &OR=0~~\text{et}~~OG\neq 0\qquad &&\text{système équivalent à un couple}\\ &OR=0~~\text{et}~~OG=0 &&\text{système équivalent à zéro}\end{aligned}\]

L’équivalence des systèmes coplanaires s’exprime par trois conditions scalaires.

4.2. Vecteurs parallèles

Lorsque les vecteurs d’un torseur sont parallèles, l’invariant \(OR\cdot OG\) est nul lorsque tous les vecteurs d’un système de vecteurs glissants sont parallèles. Un tel système est donc équivalent soit à un vecteur unique, soit à un couple, soit à zéro.

Le vecteur \(u \) désignant un vecteur libre unitaire parallèle à la direction commune des vecteurs et le vecteur \(v_i\) désignant la mesure algébrique correspondante du vecteur \(A_iB_i\) , on peut écrire : \[OR=\sum A_iB_i=u\cdot \sum v_i\]

Premier cas : \(\sum v_i\neq 0\) Le système est équivalent à un vecteur unique appelé vecteur résultant, porté par l’axe central. Pour déterminer cet axe, il suffit de chercher les points en lesquels le moment résultant est nul. On a : \[OG=\sum OA_i\wedge A_iB_i=-u\wedge\sum OA_i\cdot v_i\]

Le moment résultant en un point A sera donc nul si :

\[\begin{aligned} \sum AA_i\cdot v_i&=\sum(AO+OA_i)\cdot v_i=0\\ \text{soit~:}\qquad OA&=\frac{\sum OA_i\cdot v_i}{\sum v_i}\end{aligned}\]

Lorsque les vecteurs glissent sur leurs supports, on peut écrire, en désignant par \(A_i^*\) une position particulière du point \(A_i\) :

\[\begin{aligned} OA_i&=OA_i^*+\lambda_i~u\\ OA&=OA^*+u\cdot \frac{\sum \lambda_i~v_i}{\sum v_i}\end{aligned}\]

Il en résulte que le point A se déplace parallèlement à la direction commune des vecteurs et de l’axe central, si bien que l’axe central ne change pas.

Deuxième cas : \(\sum v_i=0\)

La somme \(\sum OA_i\cdot v_i\) est indépendante du point \(O\).

Si \(\sum OA_i\cdot v_i=0\), alors le système est équivalent à zéro.

Si \(\sum OA_i\cdot v_i\neq 0\), alors le système est équivalent à un couple dont l’axe \(\big\{-u\wedge\sum OA_i\cdot v_i\big\} \) ne change pas lorsque les vecteurs glissent sur leurs supports.

Troisième cas : vecteurs parallèles liés

Les points \(A_i\) sont alors fixes et le point A de l’axe central est défini par : \[OA=\frac{\sum OA_i\cdot v_i}{\sum v_i}\]

est indépendant de la direction des vecteurs. Il en résulte que lorsque les vecteurs tournent autour de leurs origines tout en restant parallèles, le support du vecteur résultant tourne autour du point A.

Le vecteur d’origine A équivalent au système des vecteurs parallèles s’appelle la résultante des vecteurs parallèles liés.

Le point A, appelé centre des vecteurs parallèles liés, dépend seulement des origines des vecteurs et des rapports de leurs grandeurs.

4.3. Système de trois vecteurs équivalents à zéro

Soient à présent trois vecteurs \(V_1,~V_2,~V_3\) formant un système nul.

On démontre que la résultante générale est nulle et que l’on a les relations (loi des sinus) : \[\frac{\overline{V_1}}{\sin(V_2,V_3)}=\frac{\overline{V_2}}{\sin(V_3,V_1)}=\frac{\overline{V_3}}{\sin(V_1,V_2)}\]

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