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Définitions. Groupe cyclique. Éléments conjugués. Classe. Sous-groupes conjugués. Produit direct. Isomorphisme de groupes.

1. Premières définitions

Nous reprenons ici, sous une forme simple adaptée au problème des transformations en physique moléculaire, les notions fondamentales largement développées dans la rubrique Théorie des ensembles des mathématiques appliquées. Nous envisageons des groupes à nombre fini d’éléments.

Chaque groupe contient la transformation identique \(E\) (élément neutre).

On entend par produit de deux éléments le résultat de deux transformations successives.

La multiplication entre éléments est associative : \[(A~B)~C~=~A~(B~C)\]

Cette opération est non commutative en général : \[A~B~\neq~B~A\]

À chaque élément \(A\) du groupe correspond (dans le groupe) un inverse \(A^{-1}\) : \[A~A^{-1}~=~A^{-1}~A~=~E\qquad(\text{en particulier}~:~E^{-1}=E)\]

On peut dire que deux éléments inverses l’un de l’autre sont commutatifs.

Inverse du produit de deux éléments : \[(A~B)^{-1}~=~B^{-1~}A^{-1}\]

Démonstration :

\[\begin{aligned} (A~B)^{-1}~(A~B)~&=~E\\ (A~B)^{-1}~(A~B)~B^{-1}~&=~E~B^{-1}~=~B^{-1}\\ (A~B)^{-1}~(A~B)~B^{-1}~A^{-1}~&=~B^{-1}~A^{-1}\\ (A~B)^{-1}~A~E~A^{-1}~&=~B^{-1}~A^{-1}\\ (A~B)^{-1}~A~A^{-1}~&=~B^{-1}~A^{-1}\\ (A~B)^{-1}~E~&=~B^{-1}~A^{-1}\qquad\rm (c.q.f.d.)\end{aligned}\]

Si tous les éléments d’un groupe sont commutatifs, le groupe est dit abélien.

Les groupes cycliques sont un cas particulier des groupes abéliens.

2. Groupe cyclique

Tous les éléments d’un groupe cyclique peuvent être obtenus par itérations successives : \[A,~A^2,~A^3,~\dots,~A^n=E\qquad (n~:~\text{entier})\]

Prenant un élément arbitraire \(A\) du groupe, on parvient nécessairement à \(E\) par itérations.

On considère un sous-groupe \(\textbf{G}\) et un ensemble d’éléments \(\textbf{H}\subset\textbf{G}\). Si \(\textbf{H}\) forme à son tour un groupe, celui-ci constitue un sous-groupe de \(\textbf{G}\).

Un seul et même élément d’un groupe peut appartenir à différents sous-groupes.

Si \(n\) est le plus petit nombre pour lequel \(A^n=E\), il est dit ordre de l’élément \(A\).

L’ensemble des éléments (\(A~,~A^2~,~A^3~,~.....~,~A^n=E\)) est appelé période de \(A\), généralement désignée par {\(A\)}.

On saura qu’un ensemble d’éléments d’un groupe est un sous-groupe du groupe initial, si l’on vérifie que, multipliant deux quelconques de ses éléments, on obtient un des éléments de cet ensemble.

Le nombre total d’éléments du groupe est son ordre. L’ordre d’un sous-groupe est un diviseur de l’ordre du groupe tout entier. Si l’ordre d’un groupe est un nombre premier, ce groupe ne possède pas de sous-groupe (à l’exclusion de \(E\) et du groupe tout entier lui-même)

3. Éléments conjugués

Deux éléments \(A\) et \(B\) sont dits conjugués l’un de l’autre si : \[A~=~C~B~C^{-1}\qquad (C~\text{également élément du groupe})\]

Inversement, en multipliant l’égalité par \(C\) à gauche et par \(C^{-1}\) à droite : \[C^{-1}~A~C~=~B\]

Propriété majeure : Si \(A\) est conjugué de \(B\) et si \(B\) est conjugué de \(C\), alors \(A\) est conjugué de \(C\). En effet :

\[\begin{aligned} B&=P^{-1}~A~P\qquad\text{et}\qquad C=Q^{-1~}~BQ\\ C&=Q^{-1}~(P^{-1}~A~P)~Q=(P~Q)^{-1}~A~(P~Q)\end{aligned}\]

Ceci étant, on peut parler d’ensembles d’éléments conjugués du groupe.

4. Classe d’un groupe

De tels ensembles d’éléments conjugués sont dits classes du groupe.

Chaque classe est complètement déterminée par un quelconque de ses éléments \(A\). En effet, \(A\) étant donné, la classe tout entière s’obtient en formant les produits \(G~A~G^{-1}\), \(G\) parcourant tous les éléments du groupe. De la sorte, le groupe tout entier peut être subdivisé en classes, chaque élément du groupe ne pouvant appartenir qu’à une seule classe.

L’élément unité du groupe constitue par lui même une seule classe, puisque : \[G~E~G^{-1}=E\qquad\forall~G\]

Tous les éléments d’une seule et même classe ont le même ordre.

En effet, si \(n\) est l’ordre de \(A\) (\(A^n=E\)), on a aussi pour son conjugué \(B=C~A~C^{-1}\) : \[(C~A~C^{-1})^n~=~C~A^n~C^{-1}~=~E\]

5. Sous-groupes conjugués

Soit \(\textbf{H}\) un sous-groupe de \(\textbf{G}\) et \(G_1\) un élément de \(\textbf{G}\), mais n’appartenant pas à \(\textbf{H}\).

L’ensemble des éléments {\(G_1~\textbf{H}~G^{-1}\)} jouit de toutes les propriétés de groupe : c’est aussi un sous-groupe de \(\textbf{G}\).

Les sous-groupes \(\textbf{H}\) et {\(G_1~\textbf{H}~G^{-1}\)} sont dits sous-groupes conjugués : chaque élément de l’un est conjugué d’un élément de l’autre.

Donnant à \(G_1\) diverses valeurs, on obtient une série de sous-groupes conjugués, pouvant partiellement coïncider.

Il se peut que tous les sous-groupes conjugués de \(\textbf{H}\) coïncident avec \(\textbf{H}\). On dit alors que \(\textbf{H}\) est un diviseur normal de \(\textbf{G}\).

Tout sous-groupe d’un groupe abélien en est évidemment un diviseur normal.

6. Produit direct

Soient \(\textbf{A}\) un groupe de \(n\) éléments {\(A,~A',~A''\dots\)} et \(\textbf{B}\) un groupe de \(m\) éléments {\(B,~B',~B''\dots\)}.

Supposons que tous les éléments de \(\textbf{A}\) (à part l’unité \(E\)) soient distincts des éléments de \(\textbf{B}\) et commutent avec ces derniers.

Si l’on multiplie chaque élément de \(\textbf{A}\) par chaque élément de \(\textbf{B}\), on obtient un ensemble de \(n\times m\) éléments qui constituent également un groupe.

En effet, on a pour deux éléments quelconques de cet ensemble : \[(A~B)~(A'~B')~=~(A~A')~(B~B')~=~A''~B''\]

C’est encore un élément de cet ensemble.

On désigne le groupe obtenu par : \[\textbf{A}~\times~\textbf{B}\qquad(\text{d'ordre } n~m)\]

On l’appelle produit direct de \(\textbf{A}\) par \(\textbf{B}\).

7. Isomorphisme de groupes

Deux groupes \(\textbf{A}\) et \(\textbf{B}\) de même ordre sont dits isomorphes si l’on peut établir entre leurs éléments une correspondance biunivoque telle que : \[\{A~\rightarrow~B\}~\text{et}~\{A'~\rightarrow~B'\}\quad\Rightarrow\quad\{A''=A~A'~\rightarrow~B''=B~B'\}\]

Exemple :

Sur l’intervalle [1, 100], des valeurs {\(a,~b,~c\dots\)} peuvent être remplacées par leurs logarithmes {\(x,~y,~z\dots\)}, les relations d’ordre entre elles étant parfaitement conservées.

On peut retrouver les valeurs {\(a,~b,~c\dots\)} à partir des exponentielles de {\(x,~y,~z\dots\)}.

De tels groupes, considérés de manière abstraite, jouissent évidemment de propriétés identiques, bien que le sens concret de leurs éléments soit différent.

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