I. Propagation en milieux isotropes et isolants

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Retour sur les équations de Maxwell. Propagation des ondes électromagnétiques. Structure de l'onde électromagnétique : transversalité des champs, structure de l'onde plane. Ondes planes : énergie transportée.

1. Retour sur les équations de Maxwell

Rappelons les expressions des relations de Maxwell qui traduisent les lois de l’électromagnétisme :

  • \(\overrightarrow{E}\) : Champ électrique\(\quad;\quad\overrightarrow{D}\) : Induction électrique
    \(\overrightarrow{D}=\varepsilon~\overrightarrow{E}\) \(\quad;\quad\varepsilon=\varepsilon_0=\cfrac{1}{36~\pi~10^9}\) : constante diélectrique dans le vide

  • \(\overrightarrow{H}\) : Champ magnétique  ;  \(\overrightarrow{B}\) : Induction magnétique
    \(\overrightarrow{B}=\mu~\overrightarrow{H}\quad;\quad\mu=\mu_0=4~\pi~10^{-7}\) : perméabilité magnétique dans le vide

Comme conséquence de la loi d’Ohm, le vecteur densité de courant \(\overrightarrow{i}\) et le vecteur champ électrique \(\overrightarrow{E}\) sont liés par la relation : \[\overrightarrow{i}=\gamma~\overrightarrow{E}=\frac{\overrightarrow{E}}{\rho} \qquad;\qquad\rho~:\text{ résistivité,}\quad\gamma~:\text{ conductivité}\]

Les quatre équations de Maxwell affirment :

– Comme conséquence du théorème d’Ampère : \[\overrightarrow{\rm rot}~H=\overrightarrow{i}+\frac{\partial\overrightarrow{D}}{\partial t}\]

– Comme conséquence de la loi de Lentz : \[\overrightarrow{\rm rot}~E=-\frac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial t}\]

– Par ailleurs, les vecteurs \(\overrightarrow{B}\) et \(\overrightarrow{D}\) sont à flux conservatif, c’est-à-dire : \[{\rm div}~\overrightarrow{D}=0\quad;\quad {\rm div}~\overrightarrow{B}=0\]

2. Propagation des ondes électromagnétiques

Pour un isolant ; \[\gamma=0\quad\Rightarrow\quad\overrightarrow{i}=\overrightarrow{0}\]

Compte tenu des relations : \[\overrightarrow{D}=\varepsilon~\overrightarrow{E}\quad;\quad\overrightarrow{B}=\mu~\overrightarrow{H}\]

Les équations de Maxwell vont s’écrire :

\[\begin{aligned} &{\rm div}~\overrightarrow{E}=0\quad;\quad\overrightarrow{\rm rot}~E=-\mu~\frac{\partial\overrightarrow{H}}{\partial t}\\ &{\rm div}~\overrightarrow{H}=0\quad;\quad\overrightarrow{\rm rot}~H=\varepsilon~\frac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial t}\end{aligned}\]

Partant des relations :

\[\begin{aligned} &\overrightarrow{\rm rot}~(\overrightarrow{\rm rot}~E)=\overrightarrow{\rm grad}({\rm div}~\overrightarrow{E})-\Delta\overrightarrow{E}\\ &\overrightarrow{\rm rot}~(\overrightarrow{\rm rot}~E)=\overrightarrow{rot}(-\mu\frac{\partial\overrightarrow{H}}{\partial t})=-\mu\frac{\partial}{\partial t}(\overrightarrow{\rm rot}~H)=-\varepsilon~\mu~\frac{\partial^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2}\end{aligned}\]

Tous calculs faits on obtient donc : \[\left\{ \begin{aligned} &\Delta\overrightarrow{E}=\varepsilon~\mu~\frac{\partial^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2}\\ &\Delta\overrightarrow{H}=\varepsilon~\mu~\frac{\partial^2\overrightarrow{H}}{\partial t^2} \end{aligned} \right.\]

En identifiant avec la vitesse de propagation : \[v=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon~\mu}}\]

Une onde plane sera dite polarisée lorsqu’elle se propage parallèlement à une direction donnée.

Compte tenu des valeurs de \(\varepsilon_0\) et \(\mu_0\), on trouve que \(v_0=3\times 10^8~m~s^{-1}\), ce qui constitue un bon argument pour confondre ondes lumineuses et ondes électromagnétiques.

Si nous faisons la supposition que \(\mu=\mu_0\), en ce qui concerne l’indice de réfraction, on aura : \[n=\frac{c}{v}=\sqrt{\frac{\varepsilon~\mu}{\varepsilon_0~\mu_0}}=\sqrt{\frac{\varepsilon}{\varepsilon_0}}=\sqrt{\varepsilon_r} \quad\Rightarrow\quad n^2=\varepsilon_r\]

3. Structure de l’onde électromagnétique

3.1. Transversalité des champs

Soit une onde de pulsation \(\omega\) se propageant parallèlement à \(Oz\) et positivement suivant la vitesse \(v\). Tout plan perpendiculaire à \(Oz\) est un plan d’onde. Le déphasage dépend de \(z\) : \[\overrightarrow{E}=\overrightarrow{E_0}~\exp\{j~\omega~(t-\frac{z}{v})\}\]

Pour les projections : \[\left\{ \begin{aligned} &E_x=E_{ox}~\exp\{j~\big[\omega~(t-\frac{z}{v})-\varphi\big]\}\\ &E_y=E_{oy}~\exp\{j~\big[\omega~(t-\frac{z}{v})-\psi\big]\}\\ &E_z=E_{oz}~\exp\{j~\omega~(t-\frac{z}{v})\} \end{aligned} \right.\]

On voit que \(E_x\) et \(E_y\) ne dépendent que de \(z\). Comme on a : \[{\rm div}~\overrightarrow{E}=\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z}=0\]

Il s’ensuit que : \[\frac{\partial E_z}{\partial z}=0\quad\Rightarrow\quad -j~\frac{\omega}{v}~E_z=0\quad\Rightarrow\quad E_z=0\] On démontrerait de même que \(H_z=0\). Ceci permet d’affirmer que les vecteurs \(\overrightarrow{E}\) et \(\overrightarrow{H}\) sont transversaux.

3.2. Structure de l’onde plane

Pour le trièdre de référence, nous prenons \(Oz~//~\overrightarrow{v}~\) et l’on sait que : \[E_z=0\quad;\quad H_z=0\]

On sait aussi que \(\overrightarrow{E}\) et \(\overrightarrow{H}\) ne dépendent que de \(z\). La relation : \[\overrightarrow{\rm rot}~E=-\mu~\frac{\partial\overrightarrow{H}}{\partial t}\]

s’écrit, analytiquement : \[\left\{ \begin{aligned} -\frac{\partial E_y}{\partial z}&=-\mu\frac{\partial H_x}{\partial t}\\ \frac{\partial E_x}{\partial z}&=-\mu\frac{\partial H_y}{\partial t} \end{aligned} \right. \qquad\text{ou}\qquad \left\{ \begin{aligned} &\frac{1}{v}~E_y=-\mu~H_x\\ &\frac{1}{v}~E_x=\mu~H_y \end{aligned} \right.\]

En effectuant le rapport membre à membre de ces expressions : \[\frac{E_y}{E_x}=-\frac{H_x}{H_y}\qquad\text{ou}\qquad E_x~H_x+E_y~H_y=0\]

Ce qui signifie que : \[\overrightarrow{E}~~\bot~~\overrightarrow{H}\]

On sait que : \[v=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon~\mu}}\]

Par ailleurs : \[\frac{1}{v}~E_x=\mu~H_y\quad\Rightarrow\quad\frac{H_y}{E_x}=\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}\]

On voit que : \[E>0\quad\Rightarrow\quad H>0\]

Toutes ces considérations nous permettent de choisir comme trièdre de référence le trièdre \([\overrightarrow{E},~\overrightarrow{H},~\overrightarrow{v}]\) qui est de sens direct.

4. Ondes planes. Énergie transportée

Partant de l’expression : \[{\rm div}~\overrightarrow{E}\wedge\overrightarrow{H})=\overrightarrow{H}\cdot\overrightarrow{\rm rot}~E-\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{\rm rot}~H\]

Et sachant que : \[\overrightarrow{\rm rot}~E=-\mu~\frac{\partial\overrightarrow{H}}{\partial t}\quad;\quad \overrightarrow{\rm rot}~H=\varepsilon~\frac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial t}\]

On a alors :

\[\begin{aligned} &{\rm div}(\overrightarrow{E}\wedge\overrightarrow{H})=-\mu~\overrightarrow{H}~\frac{\partial}{\partial t}\overrightarrow{H}-\varepsilon~\overrightarrow{E}~\frac{\partial}{\partial t}\overrightarrow{E}\\ &{\rm div}(\overrightarrow{E}\wedge\overrightarrow{H})=\frac{\partial}{\partial t}\Big(\frac{\mu~H^2+\varepsilon~E^2}{2}\Big)\end{aligned}\]

Les quantités \(\cfrac{\varepsilon~E^2}{2}\) et \(\cfrac{\mu~H^2}{2}\) sont les densités d’énergie électrique et magnétique.

Le vecteur \(\overrightarrow{P}=\overrightarrow{E}\wedge\overrightarrow{H}\) joue un rôle très important du point de vue énergie. C’est le vecteur de Poynting.

D’après les propriétés de l’analyse vectorielle : \[\iint_{\Sigma}\overrightarrow{P}\cdot\overrightarrow{ds}=\iiint_V {\rm div}(\overrightarrow{P})~d\tau= -\frac{\partial}{\partial t}\iiint_V\Big(\frac{\varepsilon~E^2}{2}+\frac{\mu~H^2}{2}\Big)~d\tau= -\frac{\partial W}{\partial t}\]

Ainsi, le flux de \(\overrightarrow{P}\) à travers \(S\) est donc égal à la quantité d’énergie qui s’écoule à travers cette surface. Ce vecteur représente donc, en grandeur et direction, un débit d’énergie électromagnétique. On notera que \(\overrightarrow{P}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires.

Remarque

\[\frac{H}{E}=\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}\qquad\Rightarrow\qquad\varepsilon~E^2=\mu~H^2\]

Par suite : \[\frac{\varepsilon~E^2+\mu~H^2}{2}=\varepsilon~E^2=\mu~H^2\]

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