IV. Exercices sur les probabilités

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Densité de probabilité et changement de variable.

1. Densité de probabilité et changement de variable

1.1. Énoncé

On considère un signal aléatoire \(x(t)\). La valeur de ce signal, à chaque instant \(t\), est donc une variable aléatoire \(X\).

La densité de probabilité de cette variable, notée \(f_X(x)\), est représentée ci-contre (figure 2).

1) Normaliser cette densité en déterminant quelle doit être la valeur de la constante \(a\), hauteur de la composante impulsion en \(x=1\), pour que \(f_X(x)\) représente effectivement une densité de probabilité.

2) Cette densité est maintenant appliquée à un dispositif pouvant être linéaire ou non linéaire.

Que devient l’expression de cette densité en sortie du dispositif dans les deux cas suivants ?

a) Dispositif amplificateur (\(A>0\)) ;

b) Dispositif limiteur dur (échelon Heaviside).

(On utilisera avec profit la technique du changement de variable au moyen de la fonction de répartition)

1.2. Solution

1) On exprime la condition de normalisation : \[\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)~dx=1\]

Dans le cas présent, la somme suivante : \[S_1+\int a~\delta(x-1)~dx+S_2+S_3=1\]

Donc tous calculs faits : \[\Big(\frac{2\times 0,2}{2}\Big)+a+(0,2)+(0,1)=1\qquad\text{donc :}\quad a=0,5\]

2) Il y a changement de variable. On utilise donc les propriétés de la fonction de répartition : \[y=A~x\quad\Rightarrow\quad \text{Pr}(Y<y)=\text{Pr}(Ax<y)=\text{Pr}(X<\frac{y}{A})\]

a) Dispositif amplificateur

La densité de probabilité étant la dérivée de la fonction de répartition, on a donc : \[f_Y(y)=\frac{1}{A}~f_X\Big(\frac{y}{A}\Big)\]

D’où la représentation figure ci-contre.

On remarquera que (propriété de distribution) : \[\frac{a}{A}~\delta\Big(\frac{y-A}{A}\Big)=a~\delta(y-A)\]

b) Dispositif limiteur dur

Y ne peut prendre que deux valeurs : \(Y\in\{-1,+1\}\) avec les probabilités respectives :

\[\begin{aligned} \text{Pr}[Y=-1]&=\text{Pr}[X<0]=S_1=\frac{0,2\times 2}{2}=0,2\\ \text{Pr}[Y=+1]&=\text{Pr}[X>0]=a+S_2+S_3=0,5+0,2+0,1=0,8\end{aligned}\]

On constate (fort heureusement) que la somme des deux probabilités a pour valeur 1.

La densité de probabilité en \(y\) aura alors pour expression : \[f_Y(y)=0,2~\delta(y+1)+0,8~\delta(y-1)\]

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