VI. Exercices sur la relativité restreinte

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Physique atomique. Paradoxes (jumeaux de Langevin).

1. Physique atomique

1.1. Exercice 1

1.1.1. Énoncé

En partant de la relation d’Einstein : \[E=m~c^2\]

démontrer la formule de l’énergie : \[E^2=p^2~c^2+m_0^2~c^4\]

1.1.2. Solution

Nous partons de la relation : \[E=m~c^2\quad\Rightarrow\quad E^2=m^2~c^4\]

dans laquelle il faut introduire \(m_0\), masse au repos et \(p\), l’impulsion.

On sait que : \[m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\beta^2}}\quad;\quad\beta=\frac{v}{c}\]

On aura donc : \[E^2=\frac{m_0^2~c^4}{1-\beta^2}\]

qui peut s’écrire (petit artifice de calcul) : \[E^2=\frac{m_0^2~c^4}{1-\beta^2}~(1-\beta^2)+\frac{m_0^2~c^4}{1-\beta^2}~\beta^2\]

qui entraîne (nouvelle écriture) : \[E^2=m_0^2~c^4+\frac{m_0^2~c^4}{1-\beta^2}~\beta^2\]

Une équivalence d’écriture pour le deuxième terme : \[\frac{m_0^2~c^4}{1-\beta^2}~\beta^2=\Big(\frac{\beta^2}{1-\beta^2~}~m_0^2\Big)~c^4=m^2~c^4\]

On y retrouve l’impulsion \(p=m~c\).

Et on a bien \[E^2=p^2~c^2+m_0^2~c^4\]

1.2. Exercice 2

1.2.1. Énoncé

Tenant compte de la variation de la masse avec la vitesse, on montrera que la masse au repos \(m_0\) d’une particule est donnée par l’expression : \[m_0~c^2=\frac{1}{2}~\Big(\frac{p^2~c^2}{E_c}-E_c\Big)\]

  • \(p\) : moment ou quantité de mouvement

  • \(E_c\) : énergie cinétique (l’énergie totale de la particule et l’énergie au repos)

  • \(c\) : vitesse de la lumière

1.2.2. Solution

Nous allons calculer la quantité : \[p^2~c^2=m^2~v^2~c^2\]

Introduisons le rapport des vitesses : \[\beta=\frac{v}{c}\]

On peut alors écrire : \[p^2~c^2=m^2~c^4~\beta^2=E^2~\beta^2\]

\(E\) étant l’énergie totale de la particule.

Utilisant, comme souvent en relativité, un artifice de calcul, on peut écrire : \[p^2~c^2=E^2- E^2~(1-\beta^2)=E^2-m^2~c^4~(1-\beta^2)\]

C’est à dire : \[p^2~c^2=E^2-m_0^2~c^4\qquad\text{(comme dans l'exercice précédent)}\]

Par ailleurs : \[E=E_c+m_0~c^2\]

On a donc :

\[\begin{aligned} p^2~c^2&=E_c^2+2~E_c~m_0~c^2\\ \frac{p^2~c^2}{E_c}&=E_c+2~m_0~c^2\end{aligned}\]

On a finalement (c.q.f.d.) : \[m_0~c^2=\frac{1}{2}~\Big(\frac{p^2~c^2}{E_c}-E_c\Big)\]

2. Paradoxes

2.1. Exercice 1. Histoire des jumeaux de Langevin

2.1.1. Énoncé

Le savant Paul Langevin imaginait (1911) un cosmonaute qui quitterait la Terre avec une vitesse avoisinant celle de la lumière et qui y reviendrait au bout de deux ans de son temps propre, en conclut qu’il trouverait, à son retour, la Terre vieillie de deux siècles.
(Extrait de mon cours de philosophie de classe terminale, chapitre des grandes théories).

On appliquera ce raisonnement à deux frères jumeaux, de 35 ans : \(J_f\) resté sur Terre (donc fixe) et \(J_m\) parti faire un tour (donc mobile) et revenu voir son frère après 9 ans (pour lui) passés en fusée ultra-rapide (4/5 de la vitesse de la lumière).

  1. Question classique : âges respectifs des jumeaux aux retrouvailles relativistes ?

  2. Analyse du paradoxe espace-temps.

2.1.2. Solution

1) Le temps propre écoulé du jumeau mobile \(J_m\) (estimé par lui) est \(\Delta T_m\) = 9 ans. Il se déplace avec une vitesse \(v=\cfrac{4}{5}~c\).

Le temps \(\Delta T_f\) écoulé depuis et estimé par le jumeau fixe \(J_f\) est donné par : \[\Delta T_f=\frac{\Delta T_m}{\sqrt{1-\cfrac{v^2}{c^2}}}\]

Tous calculs faits, \(\Delta T_f\) = 15 ans.

Ce qui donne pour les âges respectifs (du point de vue du cosmonaute imaginaire) \[A_m=35+9=44~{\rm ans}\quad;\quad A_f=35+15=50~\rm ans\]

2) Le paradoxe espace-temps

Imaginons que la fusée du cosmonaute se déplace à la vitesse de la lumière.

On obtient un dénominateur nul dans l’expression de \(\Delta T_f\) ce qui signifie que : \[\Delta T_f~\rightarrow~\infty\qquad\text{(l'éternité pour le jumeau terrestre)}\]

Dans ces conditions \(\Delta T_m\) ne présente aucun intérêt, autrement dit : le temps ne passe plus pour le jumeau cosmonaute.

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