I. Système international d'unités (SI)

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Historique. Grandeurs et unités. Unités de base. Unités dérivées. Multiples et sous-multiples décimaux. Unités hors SI. Règles d’écriture.

1. Introduction

Les unités et les constantes de base du SI. Source : bipm.org

Cet article est essentiellement un résumé pratique de la brochure sur le SI, 9\(^e\) édition de 2019, éditée par le Bureau international des poids et mesures (BIPM).

Site internet : http://www.bipm.org

1.1. Bref historique

La Révolution française de 1789 a mis en place le Système métrique pour unifier les unités de mesure en un ensemble cohérent pour en simplifier l’usage et, sur le plan politique, pour en retirer leur définition aux différents seigneurs qui les adaptaient souvent pour augmenter indirectement les impôts sur leurs vassaux (en rognant les poids servant à évaluer la part des taxes sur la production de blé par exemple).

Le Système international d’unité (SI) est la forme moderne du Système métrique. Il a été adopté partout dans le monde, sauf dans quelques domaines comme la marine (mille marin, nœud...) et dans quelques pays anglo-saxons (pied, baril...) pour quelques usages courants.

La définition des différentes unités du SI est parfois révisée quand des avancées techniques permettent une amélioration notable de la précision des mesures.

La diffusion et le perfectionnement du SI sont des missions du Bureau international des poids et mesures (BIPM) dont le siège est au Pavillon de Breteuil (parc de Saint-Cloud, près de Paris).

1.2. Grandeurs et unités

Le système de grandeurs à utiliser avec le SI, y compris les équations reliant ces grandeurs entre elles, correspond en fait aux grandeurs et équations de la physique, bien connues de tous les scientifiques, techniciens et ingénieurs : longueur, volume, temps, vitesse, force, tension électrique, densité de courant... Les équations relient entre elles les différentes grandeurs à partir des sept grandeurs de base choisies : longueur (L), masse (M), temps (T), courant électrique (I), température thermodynamique (\(\Theta\)), quantité de matière (N) et intensité lumineuse (J).

Par convention, les grandeurs physiques sont organisées selon un système de dimensions. En général, la dimension d’une grandeur \(Q\) s’écrit sous la forme d’un produit dimensionnel : \[{\rm dim}~Q=\rm L^\alpha~M^\beta~T^\gamma~I^\delta~\Theta^\epsilon~N^\zeta~J^\eta\]

où ici les lettres grecques sont des exposants entiers appelés exposants dimensionnels. Le prochain article II. Homogénéité. Équations aux dimensions précise cette approche et montre son utilisation dans la vérification de l’homogénéité d’une formule.

Quand, dans une équation aux dimensions, tous les exposants sont nuls, alors la grandeur correspondante est dite sans dimension ou de dimension un. Ex. : l’indice de réfraction, l’angle plan (mesuré par commodité en radians, en réalité le rapport entre une longueur d’arc et une longueur de rayon).

Les définitions des unités de base du SI ont été adoptées dans un contexte qui ne tient pas compte des effets relativistes qui, dans certains contextes, ne peuvent être négligés. Ainsi, la théorie de la relativité générale prédit un décalage de fréquence entre les étalons d’environ 1 × 10\(^{−16}\) en valeur relative par mètre d’altitude à la surface de la Terre.

2. Unités SI

2.1. Constantes fondamentales

Les constantes de base du SI. Source : bipm.org

La dernière révision majeure du SI, adoptée en 2018, fonde le SI sur les valeurs numériques fixées d’un ensemble de sept constantes à partir desquelles les définitions des sept unités de base du SI sont déduites.

Le SI est ainsi le système d’unités selon lequel :

– la fréquence de la transition hyperfine de l’état fondamental de l’atome de césium 133 non perturbé, \(\Delta\nu_{Cs}\), est égale à 9 192 631 770 Hz,

– la vitesse de la lumière dans le vide, \(c\), est égale à 299 792 458 m/s,

– la constante de Planck, \(h\), est égale à 6,626 070 15 × 10\(^{−34}\) J s,

– la charge élémentaire, \(e\), est égale à 1,602 176 634 × 10\(^{−19}\) C,

– la constante de Boltzmann, \(k\), est égale à 1,380 649 × 10\(^{−23}\) J/K,

– la constante d’Avogadro, \(N_A\), est égale à 6,022 140 76 × 10\(^{23}\) mol−1,

– l’efficacité lumineuse d’un rayonnement monochromatique de fréquence 540 × 10\(^{12}\) Hz, \(K_{cd}\), est égale à 683 lm/W.

Ces définitions précisent la valeur numérique exacte de chaque constante lorsque sa valeur est exprimée dans l’unité du SI correspondante. En fixant la valeur numérique exacte, l’unité devient définie, car le produit de la valeur numérique par l’unité doit être égal à la valeur de la constante, qui est invariante.

2.2. Unités de base du SI

Les unités de base du SI. Source : bipm.org

Les sept unités de base du SI constituent le fondement permettant de définir toutes les unités de mesure du Système international.

Unité de temps : la seconde (symbole : s)

La seconde est la durée de \(\Delta\nu_{Cs}\), nombre de périodes de la radiation correspondant à la transition entre les deux niveaux hyperfins de l’état fondamental de l’atome de césium 133.

Une précision de mesure ultra-précise utile pour la définition induite du mètre et pour beaucoup d’applications dont le positionnement par satellites.

Unité de longueur : le mètre (symbole : m)

Le mètre est la longueur du trajet parcouru dans le vide par la lumière dont la vitesse est définie par \(c\).

Initialement, le mètre était la longueur d’un prototype en platine iridié, lui-même défini comme 1/10 000\(^{\text{ème}}\) de la longueur d’un quart de méridien terrestre.

Unité de masse : le kilogramme (symbole : kg)

Le kilogramme est défini en prenant la valeur numérique fixée de la constante de Planck, \(h\), lorsqu’elle est exprimée en J s, unité égale à kg m\(^2\) s\(^{−1}\).

Unité de courant électrique : l’ampère (symbole : A)

L’ampère est défini en prenant la valeur numérique fixée de la charge élémentaire, \(e\), lorsqu’elle est exprimée en C, unité égale à A s.

Unité de température thermodynamique : le kelvin (symbole : K)

Le kelvin est défini en prenant la valeur numérique fixée de la constante de Boltzmann, \(k\), lorsqu’elle est exprimée en J K\(^{−1}\), unité égale à kg m\(^2\) s\(^{−2}\) K\(^{−1}\).

Le point de congélation de l’eau \(T_0\) = 23,15 K sert de référence à la température Celsius définie par la relation : \[t/\text{°C}=T/\text{K}-273,15\]

Unité de quantité de matière : la mole (symbole : mol)

Une mole contient exactement le nombre d’Avogadro, \(N_A\), d’entités élémentaires.

La quantité de matière, symbole \(n\), d’un système est une représentation du nombre d’entités élémentaires spécifiées. Une entité élémentaire peut être un atome, une molécule, un ion, un électron, ou toute autre particule ou groupement spécifié de particules.

Unité d’intensité lumineuse : le candela (symbole : cd)

La candela est définie en prenant la valeur numérique fixée de l’efficacité lumineuse d’un rayonnement monochromatique de fréquence \(K_{cd}\) égale à 683 lorsqu’elle est exprimée en lm W\(^{−1}\), unité égale à cd sr W\(^{−1}\), ou cd sr kg\(^{−1}\) m\(^{−2}\) s\(^3\).

2.3. Unités dérivées du SI

Les unités dérivées sont formées à partir de produits de puissances des unités de base.

Les unités dérivées cohérentes sont des produits de puissances des unités de base qui ne font pas intervenir d’autre facteur numérique que 1.

2.3.1. Unités dérivées exprimées à partir des unités de base

Les grandeurs utilisées dans le domaines scientifiques sont en très grand nombre. En voici quelques exemples : \[\begin{array}{l|l|l} \text{Grandeur dérivée} & \text{Unité dérivée} & \text{Symbole} \\ \hline \text{superficie} & \text{mètre carré} & \rm m^2 \\ \text{volume} & \text{mètre cube} & \rm m^3 \\ \text{vitesse} & \text{mètre par seconde} & \rm m/s \\ \text{accélération} & \text{mètre par seconde carrée} & \rm m/s^2 \\ \text{masse volumique} & \text{kiligramme par mètre cube} & \rm kg/m^3 \\ \text{densité de courant} & \text{ampère par mètre carré} & \rm A/m^2 \\ \text{champ magnétique} & \text{ampère par mètre} & \rm A/m \\ \text{concentration de matière} & \text{mole par mètre cube} & \rm mol/m^3 \\ \text{luminance} & \text{candela par mètre carré} & \rm cd/m^2 \\ \text{indice de réfraction} & \text{un} & \\ \end{array}\]

2.3.2. Unités ayant un nom spécial

Par souci de commodité, 22 unités dérivées cohérentes ont reçues un nom et un symbole particuliers. \[\begin{array}{l|l|l|l|l} \text{Grandeur dérivée} & \text{Nom} & \text{Symbole} & \text{Expression} & \text{base SI} \\ \hline \text{angle plan} & \text{radian} & \rm rad & 1 & \rm m/m \\ \text{angle solide} & \text{stéradian} & \rm sr & 1 & \rm m^2/m^2 \\ \text{fréquence} & \text{hertz} & \rm Hz & & \rm s^{-1} \\ \text{force} & \text{newton} & \rm N & & \rm m~kg~s^{-2} \\ \text{pression} & \text{pascal} & \rm Pa & \rm N/m^2 & \rm m^{-1}~kg~s^{-2} \\ \text{énergie, travail, q. de chaleur} & \text{joule} & \rm J & \rm N~m & \rm m^2~kg~s^{-2} \\ \text{puissance} & \text{watt} & \rm W & \rm J/s & m^2~kg~s^{-3} \\ \text{charge électrique, q. d'électricité} & \text{coulomb} & \rm C & & \rm s~A \\ \text{différence de potentiel électrique,} & \text{volt} & \rm V & \rm W/A & \rm m^2~kg~s^{-3}~A^{-1} \\ \quad\text{force électromotrice} & & & \\ \text{capacité électrique} & \text{farad} & \rm F & \rm C/V & \rm m^{-2}~kg^{-1}~s^{4}~A^{2} \\ \text{résistance électrique} & \text{ohm} & \Omega & \rm V/A & \rm m^{2}~kg~s^{-3}~A^{-2} \\ \text{conductance électrique} & \text{siemens} & \rm S & \rm A/V & \rm m^{-2}~kg^{-1}~s^{3}~A^{2} \\ \text{flux d'induction magnétique} & \text{weber} & \rm Wb & \rm V~s & \rm m^2~kg~s^{-2}~A^{-1} \\ \text{induction magnétique} & \text{tesla} & \rm T & \rm wb/m^2 & \rm kg~s^{-2}~A^{-1} \\ \text{inductance} & \text{henry} & \rm H & \rm Wb/A & \rm m^2~kg~s^{-2}~A^{-2} \\ \text{température Celsius} & \rm \text{degré Celsius} & \text{°C} & & \rm K \\ \text{flux lumineux} & \text{lumen} & \rm lm & \rm cd~sr & \rm cd \\ \text{éclairement lumineux} & \text{lux} & \rm lx & \rm lm/m^2 & \rm m^{-2}~cd \\ \text{activité d'un radionucléide} & \text{becquerel} & \rm Bq & & \rm s^{-1} \\ \text{dose absorbée, kerma} & \text{gray} & \rm Gy & \rm J/kg & \rm m^2~s^{-2} \\ \text{équivalent de dose} & \text{sievert} & \rm Sv & \rm J/kg & m^2~s^{-2} \\ \text{activité catalytique} & \text{katal} & \rm kat & & \rm s^{-1}~mol \\ \end{array}\]

Ils peuvent alors aussi être utilisés pour définir les unités de nouvelles grandeurs dérivées. Quelques exemples : \[\begin{array}{l|l|l|l} \text{Grandeur dérivée} & \text{Nom} & \text{Symbole} & \text{Expression base SI} \\ \hline \text{moment d'une force} & \text{newton mètre} & \rm N~m & \rm m^2~kg~s^{-2} \\ \text{tension superficielle} & \text{newtom par mètre} & \rm N/m & \rm kg~s^{-2} \\ \text{vitesse angulaire} & \text{radian par seconde} & \rm rad/s & \rm s^{-1} \\ \text{entropie} & \text{joule par kelvin} & \rm J/K & \rm m^2~kg~s^{-2}~K^{-1} \\ \text{champ électrique} & \text{volr par mètre} & \rm V/m & \rm m~kg~s^{-3}~A^{-1} \\ \text{énergie molaire} & \text{joule par mole} & \rm J/mol & \rm m^2~kg~s^{-2}~mol^{-1} \\ \end{array}\]

3. Multiples et sous-multiples décimaux

Les multiples et sous-multiples décimaux des unités SI peuvent être écrits en utilisant les préfixes SI suivants : \[\begin{array}{lll|l|lll} 10^1 & \text{déca} & \rm da && 10^{-1} & \text{déci} & \rm d \\ 10^2 & \text{hecto} & \rm h && 10^{-2} & \text{centi} & \rm c \\ 10^3 & \text{kilo} & \rm k && 10^{-3} & \text{milli} & \rm m \\ 10^6 & \text{méga} & \rm M && 10^{-6} & \text{micro} & µ \\ 10^9 & \text{giga} & \rm G && 10^{-9} & \text{nano} & \rm n \\ 10^{12} & \text{téra} & \rm T && 10^{-12} & \text{pico} & \rm p \\ 10^{15} & \text{péta} & \rm P && 10^{-15} & \text{femto} & \rm f \\ 10^{18} & \text{exa} & \rm E && 10^{-18} & \text{atto} & \rm a \\ 10^{21} & \text{zetta} & \rm Z && 10^{-21} & \text{zepto} & \rm z \\ 10^{24} & \text{yotta} & \rm Y && 10^{-24} & \text{yocto} & \rm y \\ \end{array}\]

Attention ! Une unité préfixée constitue un nouveau symbole d’unité qui peut être élevé à une puissance. Celle-ci s’applique alors aussi au préfixe. Exemples : \[\begin{aligned} \rm 4~cm^3&=\rm 4~(cm)^3=\rm 4~(10^{-2}~m)^3 =\rm 4\times 10^{-6}~m^3 \\ \rm 5000~µs^{-1}&=\rm 5000~(µs)^{-1}=\rm 5000~(10^{-6}~s)^{-1}=\rm 5\times 10^{9}~s^{-1} \\ \rm 1~V/cm&=\rm (1~V)/(10^{-2}~m)=\rm 10^2~V/m=\rm 100~V/m=\rm 100~V~m^{-1}\end{aligned}\]

En toutes lettres, le préfixe est accolé au nom de l’unité. Exemple : un milliampère (1 mA), mais pas un milli-ampère.

Il est interdit de juxtaposer plusieurs préfixes. Exemple : le kilohectopascal (1 khPa = 10\(^5\) Pa) est interdit, le remplacer par 0,1 MPa = 100 kPa = 10\(^5\) Pa.

Parmi les unités de base du SI, l’unité de masse, le kilogramme (kg) est la seule dont le nom, pour des raisons historiques, contienne un préfixe. D’après la règle précédente, les préfixes sont à appliquer au gramme (g). Exemple : 10\(^{-6}\) kg = 1 mg (milligramme), mais pas 1 µkg (microkilogramme).

4. Unités hors SI

4.1. Unités hors SI dont l’usage est accepté avec le SI

Le Système international d’unité fourni un ensemble d’unités cohérentes, c’est-à dire sans conversion d’unité. Il simplifie donc l’enseignement des sciences et leurs applications. Le SI étant le seul système d’unités reconnu au niveau mondial, il constitue ainsi un langage universel.

Pour des raisons historiques ou purement politiques, l’usage d’autres unités continue. On perd alors les avantages du SI rappelées brièvement ci-dessus.

\[\begin{array}{l|l|l|l} \text{Grandeur} & \text{Nom} & \text{Symbole} & \text{Valeur en unités SI} \\ \hline \text{temps} & \text{minute} & \rm min & \rm 1~min=60~s \\ \text{} & \text{heure} & \rm h & \rm 1~h=60~min=3~600~s \\ \text{} & \text{jour} & \rm d & \rm 1~d=24~h=86~400~s \\ \text{longueur} & \text{unité astronomique (distance} & \rm au & \rm 1~ua=1,495~978~707\times 10^{11}~m \\ \text{} & \text{moy. entre la Terre et le Soleil)} & & \\ \text{angle plan} & \text{degré} & \text{°} & 1\text{°}=(\pi/180)~\rm rad \\ \text{} & \text{minute} & ' & 1'=(1/60)\text{°}=(\pi/10~800)~\rm rad \\ \text{} & \text{seconde} & '' & 1''=(1/60)'=(\pi/648~000)~\rm rad \\ \text{superficie} & \text{hectare} & \rm ha & \rm 1~ha=1~hm^2=10^4~m^2 \\ \text{volume} & \text{litre} & \rm l,~L & \rm 1~L=1~l=1~dm^3=10^{-3}~m^3 \\ \text{masse} & \text{tonne} & \rm t & \rm 1~t=10^3~kg \\ & \text{dalton} & \rm Da & \rm 1~Da=1,660~539~066~60(50)\times 10^{-27}~kg \\ \text{énergie} & \text{électronvolt} & \rm eV & \rm 1~eV=1,602~176~634\times 10^{-19}~J \\ \text{logarithme} & \text{néper} & \rm Np & \\ ~~\text{d'un rapport} & \text{décibel} & \rm dB & \\ \end{array}\]

Le néper et le décibel sont des grandeurs logarithmiques, sans dimension, exprimant le logarithme (népérien pour le néper, décimal pour le décibel) d’un rapport de valeurs.

4.2. Autres unités hors SI

Il existe de nombreuses unités en dehors du SI qui présentent un intérêt historique ou qui sont encore utilisées dans un domaine spécialisé (comme le baril de pétrole) ou dans certains pays (comme le pouce, le pied ou le yard). Leur usage est déconseillé dans les travaux scientifiques et techniques modernes. \[\begin{array}{l|l|l|l} \text{Grandeur} & \text{Nom} & \text{Symbole} & \text{Valeur en unités SI} \\ \hline \text{pression} & \text{bar} & \rm bar & \rm 1~bar=0,1~MPa=100~kPa=10^5~Pa \\ \text{} & \text{mm de mercure} & \rm mmHg & \rm 1~mmHg=133,322~Pa \\ \text{longueur} & \text{ångström} & \text{Å} & 1~\text{Å}=\rm 0,1~nm=100~pm=10^{-10}~m \\ \text{distance} & \text{mille marin} & \rm M & \rm 1~M=1852~m \\ \text{superficie} & \text{barn} & \rm b & \rm 1~b=100~fm^2=10^{-28}~m^2 \\ \text{vitesse} & \text{nœud} & \rm kn & \rm 1~kn=1~M/h=(1832/3600)~m/s \\ \end{array}\]

5. Règles d’écriture

5.1. Symboles des unités

Les symboles des unités sont en général écrits en minuscules, sauf quand le nom de l’unité dérive d’un nom propre Ex. : V, volt ; Pa, pascal. Une exception : le symbole du litre peut s’écrire l ou L pour éviter la confusion avec le chiffre 1.

Les règles du SI demande que les symboles d’unités soient écrits en caractères droits pour réserver les italiques aux symboles de grandeurs. En pratique, quand il n’y a pas d’ambiguïté, cette règle n’est pas toujours respectée, car elle est lourde à mettre en œuvre.

Les symboles d’unités sont des entités mathématiques, pas des abréviations. Il ne sont pas suivis d’un point, ils restent invariables au pluriel et il ne doivent pas être mélangés avec des noms d’unités. Ex : \(\rm 75~cm\), mais pas \(\rm 75~cm.\), ni \(\rm 75~cms\) ; coulomb par kilogramme, mais pas coulomb par kg.

Les règles classiques de multiplication ou de division algébriques s’appliquent pour former les produits et quotients de symboles d’unités. La multiplication doit être indiquée par une espace ou un point à mi-hauteur centré (\(\cdot\)). Ex. : \(\rm N~m\) ou \(\rm N\cdot m\), newton mètre.

La division est indiquée par une barre oblique (/) ou par des exposants négatifs. Ex. : \(\rm m/s\) ou \(\rm m~s^{-1}\), mètre par seconde.

Lorsque l’on combine plusieurs symboles d’unités, il faut prendre soin d’éviter toute ambiguïté, par exemple en utilisant des parenthèses ou des exposants négatifs. Il ne faut pas utiliser plus d’une barre oblique dans une expression donnée s’il n’y a pas de parenthèses pour lever toute ambiguïté. Ex. : \(\rm m~kg/(s^3~A)\) ou \(\rm m~kg~s^{-3}~A^{-1}\), mais pas \(\rm m~kg/s^3/A\), ni \(\rm m~kg/s^3~A\).

5.2. Noms des unités

Les noms des unités sont des noms communs. Ils s’écrivent donc, en français et en anglais, tout en minuscules. Exception : degré Celcius. Ils prennent en général les règles habituelles du pluriels. Ex. : 2 joules, 10 hertz, mais 5 pascals.

Lorsque le nom de l’unité est accolé au nom d’un préfixe d’un multiple ou sous-multiple. Ex. : kilopascal, mais pas kilo-pascal.

En français et en anglais, lorsque le nom d’une unité dérivée est la multiplication de noms d’unités individuelles, on utilisera une espace ou un tiret pour séparer chaque nom d’unité. Ex. : pascal seconde ou pascal-seconde.

5.3. Principales autres règles

Les nombres comportant un grand nombre de chiffres peuvent être partagés en tranches de trois chiffres, séparées par un espace, afin de faciliter la lecture. Ces tranches ne sont jamais séparées par des points, ni par des virgules. Ex. : \(1~234~567,89\), mais pas \(1.234.567,89\), ni \(1,234,567.89\). Cependant, lorsqu’il n’y a que quatre chiffres avant ou après le séparateur décimal, il est d’usage de ne pas isoler un chiffre par un espace.

Lorsque l’on multiple des valeurs, on utilise le signe de multiplication ou des parenthèses, pas l’espace ou le point. Ex. : \(2,3 \times 10^8\), mais pas \(2,3~10^8\) ; \(25\times 4\), mais pas \(25\cdot 4\).

La valeur numérique précède toujours l’unité et il y a toujours un espace entre le nombre et l’unité. Seules exceptions : le degré (°), la minute (’) et la seconde (") d’angle plan, mais le degré Celsius suit la règle. Ex. : \(10~\text{°C}\), avec une espace de séparation. NB : Le kelvin est une unité à part entière, on ne parlera donc pas de dégré Kelvin. Ex. : \(\rm 10~K\), non pas \(10~\text{°K}\).

Les symboles des unités sont traités comme des entités mathématiques. Lorsque l’on exprime la valeur d’une grandeur comme le produit d’une valeur numérique par une unité, la valeur numérique et l’unité peuvent être traitées selon les règles ordinaires de l’algèbre. Par exemple, l’équation \(T=293~\text{K}\) peut aussi s’écrire \(T/\text{K}=293\). On pourra utiliser cette notation pour les en-têtes de tableaux ou les axes d’un graphique.

L’incertitude associée à la valeur numérique d’une grandeur peut souvent être exprimée en donnant entre parenthèses, après la valeur, l’incertitude-type sur les derniers chiffres significatifs. Ex. : la charge de l’électron \(e = 1,602~176~565(35)\times 10^{-19}~\rm C\), où \(35\) est l’incertitude-type sur les derniers chiffres de la valeur numérique.

Le symbole de l’unité ne doit pas être utilisé pour fournir des informations spécifiques sur la grandeur en question ; ce type d’information doit être attaché au symbole de la grandeur et pas à celui de l’unité. Ex. : \(U_{max} = 100~{\rm V}\), mais pas \(U = 100~{\rm V_{max}}\).

Comme la plupart des signes typographiques doubles ou triples, en français, le symbole % (pourcent) est précédé d’une espace. Ex. : \(100~\%\), mais pas \(100\%\).

Dans les documents électroniques, pour éviter les coupures disgracieuses ou équivoques, on veillera à utiliser l’espace insécable (le tilde  en Latex,   en HTML...) dans l’écriture des nombres, dans celle des unités et entre les valeurs et les unités.

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