IV. Théorie des perturbations (2)

Aperçu avec les notations de Dirac

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Perturbations indépendantes du temps. Méthodologie : valeur propre non dégénérée, valeur propre dégénérée. Perturbations dépendantes du temps (exemple de la perturbation en échelon).

1. Une comparaison

Les notations et la manipulation des opérateurs quantiques ont été développées aux chapitres relatifs à la mécanique quantique et la mécanique ondulatoire. Elles sont appliquées ici aux résultats de l’article précédent (méthodes classiques). La comparaison des méthodes et des résultats est intéressante.

2. Perturbations indépendantes du temps

Les opérateurs \(\widehat{H}\) et \(\widehat{H_0}\) sont caractérisés :

  • les spectres de leurs valeurs propres (associées aux énergies) ;

  • les fonctions propres correspondantes (associées aux fonctions d’onde).

Lorsque des valeurs propres sont dégénérées (valeur propre double, triple, etc.), un deuxième indice est introduit et correspond à l’ordre de dégénérescence.

\(\mathcal{E}_n\) et \(E_n\) étant les valeurs valeurs propres respectives de \(\widehat{H_0}\) et \(\widehat{H}\),

\(\varphi_n\) et \(\psi_n\) étant les fonctions propres respectives de \(\widehat{H_0}\) et \(\widehat{H}\),

dans les relations aux fonctions propres et aux valeurs propres des opérateurs respectifs : \[\left\{ \begin{aligned} &~~\widehat{H_0}~|~\varphi_{n,j}~\rangle~=~\mathcal{E}_n~|~\varphi_{n,j}~\rangle &&\forall n,~\forall j~=~1,~2,~\dots,~\alpha\\ &~~\widehat{H}~|~\psi_{n,k}~\rangle~~=~E_{n,k}~|~\psi_{n,k}~\rangle &&\forall n,~\forall k~=~1,~2,~\dots,~\beta \end{aligned}\qquad(1) \right.\]

  • \(\alpha\) : degré de dégénérescence la valeur propre de \(\widehat{H}_0\)

  • \(\beta\) : degré de dégénérescence la valeur propre de \(\widehat{H}\)

Les valeurs propres \(E_n\) et les vecteurs propres \(|\psi_{n,k}\rangle\) s’obtiennent par un développement limité respectivement autour de \(E_n\) et \(|\varphi_{n,k}\rangle\) : \[\left\{ \begin{aligned} E_n~&=~E_n^{(0)}~+~E_n^{(1)}~+~E_n^{(2)}~+~\dots\\ |\psi_{n,k}\rangle~&=~|\psi_{n,k}^{(0)}\rangle~+~|\psi_{n,k}^{(1)}\rangle~+~|\psi_{n,k}^{(2)}\rangle~+~\dots \end{aligned}\qquad(2) \right.\]

  • les termes en (0) sont indépendants de \(\widehat{V}\) ;

  • les termes en (1) sont linéaires ;

  • les termes en (2) quadratiques, etc.

La méthode consiste à substituer ce développement (2) dans (1) : \[\widehat{H}~|~\psi_{n,k}~\rangle~~=~E_{n,k}~|~\psi_{n,k}~\rangle\]

et à examiner ensuite le résultat ordre par ordre.

3. Méthodologie

3.1. Cas d’une valeur propre non dégénérée

On va retrouver les résultats du chapitre précédent.

Reprenons l’expression (2) : \[E_n~=~E_n^{(0)}~+~E_n^{(1)}~+~E_n^{(2)}~+~\dots\]

\(\mathcal{E}_n\) étant une valeur propre non dégénérée et \(|\psi_n\rangle\) la valeur propre associée, on a : \[\left\{ \begin{aligned} E_n^{(0)}~&=~\mathcal{E}_n\\ E_n^{(1)}~&=~\langle\varphi_n~|~\widehat{V}~|~\varphi_n\rangle\\ E_n^{(2)}~&=~\sum_{k~\neq~n}\sum_{j=1,\dots,d_n}~\frac{|~\varphi_{k,j}~|~\widehat{V}~|~\varphi_n~|^2}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}} \end{aligned}\qquad(3) \right.\]

Toujours à partir de l’expression (2) : \[\left\{ \begin{aligned} &\psi_n\rangle~=~|\psi_n^{(0)}\rangle~+~|\psi_n^{(1)}\rangle~+~\dots\\ &|\psi_n^{(0)}\rangle~=~|\varphi_n\rangle\\ &|\psi_n^{(1)}\rangle~=~\sum_{k~\neq~n}\sum_{j=1,\dots,d_k}~\frac{|~\varphi_{k,j}~|~\widehat{V}~|~\varphi_n~|}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}}~|\varphi_{k,j}\rangle \end{aligned}\qquad(4) \right.\]

Remarques

En comparant les deux tableaux, on retrouve à l’ordre [\(0\)] : \[E_n^{(0)}~|~\psi_n^{(0)}~\rangle~=~\mathcal{E}_n~|~\varphi_n~\rangle\qquad(5)\]

1) L’énergie en tant que grandeur, est :

  • indépendante de \(\widehat{V}\) à l’ordre [\(0\)] ;

  • linéaire à l’ordre [\(1\)] ;

  • quadratique à l’ordre [\(2\)].

2) La grandeur perturbation est considérée comme petite si : \[E_n^{(2)}~\ll~E_n^{(1)}~\ll~E_n^{(0)}\qquad(6)\]

Il faut donc que : \[\left\{ \begin{aligned} &\langle~\varphi_k~|~\widehat{V}~|~\varphi_n~\rangle~\ll~|E_n^{(0)}-E_k^{(0)}|\\ &\langle~\varphi_k~|~\widehat{V}~|~\varphi_n~\rangle~\ll~|\mathcal{E}_n-\mathcal{E}_k| \end{aligned}\qquad(7) \right.\]

3.2. Cas d’une valeur propre dégénérée

Le calcul ne sera pas développé ici, mais la méthode peut être résumée.

La technique est celle de l’algèbre matricielle classique des espaces propres

  1. \(\mathcal{E}_n\) est une valeur propre de degré de dégénérescence \(\alpha\).

  2. \(E_n\) est naturellement l’énergie à l’ordre \(0\).

  3. La dégénérescence est totalement ou partiellement levée à l’ordre 1.

  4. \(E_{n,j}^{(1)}\) sont valeurs propres de de \(\widehat{V}\) réduit au sous-espace de dégénérescence.

  5. Les vecteurs propres \(|\varphi_{n,j}^{(0)}\rangle\) (ordre \(0\)) sont les vecteurs propres correspondants.

4. Perturbations dépendantes du temps

4.1. Position du problème

On pose à priori : \[\left\{ \begin{aligned} &\widehat{H}~=~\widehat{H_0}~+~\widehat{V}(t)\\ &\widehat{V}(t)~=~0\qquad\text{si~:}~~t~<~0 \end{aligned}\qquad(1) \right.\]

Au temps \(t=0\), le système est dans un état propre de \(\widehat{H_0}\). L’opérateur \(\widehat{V}(t)\) est alors considéré comme une perturbation.

Le problème se pose en terme de probabilité, c’est-à-dire la probabilité qu’à un instant \(t>0\) le système se trouve dans un autre état propre de \(\widehat{H_0}\).

4.2. Méthode

Au temps \(t=0\), l’état du système est donné par : \[|\Psi(t)_{t=0}\rangle~=~|\varphi_n\rangle\qquad(2)\]

On peut décomposer l’état du système à l’instant t dans la base \(\varphi_p\) : \[|\Psi(t)\rangle~=~\sum_p c_p(t)~\varphi_p\rangle\qquad(3)\]

Si \(\widehat{V}\) était nul, on aurait : \[c_p(t)~=~\delta_{pn}~\exp\Big(-i~\frac{E_n~t}{\bar{h}}\Big)\qquad(4)\]

Dans le cas général, il suffit d’introduire cette forme de \(|\Psi(t)\rangle\) dans l’équation de Schrödinger et de procéder par développement limité.

Si \(\widehat{V}\) est considérée comme très faible : \[c_p(t)|~\ll~|c_n(t)|~\approx~c_n(0)~=~1\]

D’où l’expression de la probabilité de trouver le système dans l’état \(|\varphi_k\rangle\) à l’instant \(t\), alors qu’il était dans l’état \(|\varphi_n\rangle\) à l’instant t = 0 : \[Pr_{n\rightarrow k}(t)~=~\Big|~\frac{1}{h}\int_0^t \langle\varphi_k~|~\widehat{V}(\tau)~|~\varphi_n\rangle~\exp\Big\{-i~\frac{(E_m-E_k)~\tau}{\bar{h}}\Big\}~\Big|^2~d\tau\qquad(5)\]

Discussion : trois remarques importantes à l’observation de la formule :

  1. \(Pr_{n\rightarrow k}(t)\) est reliée à la transformée de Fourier de \(\langle\varphi_k~|~\widehat{V}(\tau)~|~\varphi_n\rangle\).

  2. \(Pr_{n\rightarrow k}(t)=0\) pour \(\langle\varphi_k~|~\widehat{V}(\tau)~|~\varphi_n\rangle~=~0\).

  3. \(Pr_{n\rightarrow k}(t)\) ne sera grande que si \(E_k~\approx~E_n\) (si \(\widehat{V}\) varie très lentement).

4.3. Un exemple type : la perturbation en échelon

\[\left\{ \begin{aligned} &\widehat{V}~=~0\qquad~\text{pour}~~t<0\\ &\widehat{V}~=~\widehat{V}_0\qquad\text{pour}~~t>0 \end{aligned} \qquad(6) \right.\]

L’intégration se fait donc entre les instants t = 0 et t infini.

La valeur moyenne est changée en \(\langle\varphi_k~|~\widehat{V}_0|~~\varphi_n\rangle\).

La fonction à intégrer est une \(\exp(-i~x)\) classique .

Elle conduit à un résultat en sinus : \[Pr_{n\rightarrow k}(t)~=~\Big|~2~\frac{\langle\varphi_k~|~\widehat{V}_0~|~\varphi_n\rangle}{E_n-E_k}~\sin\Big(\frac{E_n-E_k}{2~h}~t\Big)~\Big|^2\qquad(7)\]

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