V. Théorie des perturbations (3)

L'énergie potentielle en tant que perturbation

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Puits de potentiel à 3 dimensions. Cas des grandes énergies.

1. Puits de potentiel à 3 dimensions. Cas des grandes énergies.

L’équation de Schrödinger non perturbée s’écrit : \[\left\{ \begin{aligned} &\Delta\Psi^{(0)}+k^2\psi^{(0)}=0\\ &k=\frac{\sqrt{2~m~E}}{\hbar}=\frac{p}{\hbar} \end{aligned}\qquad(1) \right.\]

C’est celle du mouvement libre de la particule (les solutions sont des ondes planes).

L’équation de la correction \(\psi^{(1)}\) de première approximation s’écrit : \[\Delta\Psi^{(1)}+k^2~\psi^{(1)}=\frac{2~m~U}{\hbar^2}~\Psi^{(0)}\qquad U~:~\text{énergie potentielle}\qquad(2)\]

La solution peut s’exprimer sous forme de potentiels retardés : \[\left\{ \begin{aligned} \Psi^{(1)}(x,y,z)&=-\frac{m}{2\pi~\hbar^2}\int\Psi^{(0)}~U(x',y',z')~\exp(i~k~r)~\frac{dV'}{r}\\ r&=\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2} \\ dV'&=dx'~dy'~dz' \end{aligned}\qquad(3) \right.\]

C’est une intégrale particulière de l’équation (2).

On peut ajouter à cette solution n’importe quelle solution de l’équation sans second membre de la relation (1), c’est-à-dire l’équation non perturbée.

Le champ \(U\) n’est assimilable à une perturbation que si l’on peut vérifier que : \[\Psi^{(1)}~\ll~\Psi^{(0)}\]

Soit \(a\) l’ordre de grandeur des dimensions de la région où \(U\) est notablement non nul.

Supposons d’abord l’énergie de la particule assez petite pour que (\(k~a\)) soit inférieure à 1 et proche de cette valeur : \[k~a~\lessapprox~1\]

Alors, le facteur \(\exp(i~k~r)\) n’est pas essentiel dans l’évaluation de l’ordre de grandeur.

Il s’ensuit que l’intégrale toute entière est de l’ordre de : \[\Psi^{(0)}~|~U~|~a^2\]

de sorte que : \[\Psi^{(1)}~\sim~\frac{m|U|a^2}{\hbar^2}~\Psi^{(0)}\]

Et nous obtenons la condition : \[|U|~\ll~\frac{\hbar^2}{m~a^2}\qquad\text{pour~:}~~k~a~\lessapprox~1\qquad(4)\]

L’expression de droite a une signification physique simple : c’est l’ordre de grandeur de l’énergie cinétique de la particule dans un volume de dimensions linéaires \(a\), une impulsion de l’ordre de {\(\hbar/a\)} (selon la relation d’incertitude).

Envisageons un puits de potentiel si peu profond qu’il vérifie la condition (4). Il n’existe pas de niveaux d’énergie négatifs dans un tel puits (R. Peierls, 1929). En effet, lorsque \(E=0\), la fonction d’onde non perturbée se réduit à une constante : \[\Psi^{(0)}~=~1~~\text{(choix à priori)}\]

Comme on a : \[\Psi^{(1)}~\ll~\Psi^{(0)}\]

la fonction d’onde du mouvement dans le puits : \[\Psi~=~1+\Psi^{(1)}\qquad\text{(non nulle)}\]

Or, une fonction propre sans nœuds se rapporte à l’état normal. Par suite, la valeur minimum possible de l’énergie de la particule reste (\(E=0\)).

Si le puits est insuffisamment profond, seul un mouvement infini de la particule est possible : la particule ne saurait être captée par le puits.

Notons que ce résultat a un caractère typiquement quantique.

Puits unidimensionnel ou bidimensionnel

Tout ce qui a été dit ci-dessus ne concerne que le puits à trois dimensions.

Dans un puits à une ou deux dimensions (le champ y est fonction d’une seule ou de deux coordonnées), il existe toujours des niveaux d’énergie négative.

Cela provient de ce que, dans le cas unidimensionnel ou bidimensionnel, la théorie des perturbations ne s’applique plus du tout lorsque l’énergie \(E\) est nulle (ou très petite).

2. Cas des grandes énergies

Dans le cas des grandes énergies (\(k~a~\gg~1\)), le facteur (\(\exp(i~k~r)\)) dans la fonction sous le signe somme joue un rôle essentiel, réduisant considérablement la valeur de l’intégrale.

Prenons pour axe des \(x\) la direction du mouvement non perturbé ; la fonction d’onde non perturbée s’écrit (en ayant encore posé le facteur constant égal à un) : \[\Psi^{(0)}~=~\exp(i~k~x)\]

Cherchons la solution de l’équation : \[\Delta\Psi^{(1)}+k^2~\psi^{(1)}=\frac{2~m}{\hbar^2}~U~\exp(i~k~x)\]

sous la forme : \[\Psi^{(1)}~=~\exp(i~k~x)~f\]

\(k\) étant supposé très grand, il suffira de garder dans \(\Delta\Psi^{(1)}\) les seuls termes où le facteur \(\exp(i~k~x)\) est dérivé (ne serait-ce qu’une seule fois). On obtient alors pour \(f\) l’équation : \[2i~k~\frac{\partial f}{\partial x}~=~\frac{2~m~U}{\hbar^2}\]

d’où : \[\Psi^{(1)}~=~\exp(i~k~x)~f~=~-\frac{i~m}{\hbar^2~k}~\exp(i~k~x)\int U~dx\qquad(5)\]

L’évaluation de cette intégrale donne : \[|\Psi^{(1)}|~\approx~\frac{m~U~a}{\hbar^2~k}\]

d’où la condition de validité de la théorie des perturbations dans ce cas : \[\begin{aligned} |U|~&\ll~\frac{\hbar^2}{m~a^2}~k~a~=~\frac{\hbar~v}{a}\qquad(k~a\gg 1)\\ v~&=~\cfrac{k~\hbar}{m}\qquad(\text{vitesse de la particule}) \end{aligned}\qquad(6)\]

Remarquons que cette condition est plus faible que (4).

Si l’on peut assimiler le champ à une perturbation pour de petites énergies de la particule, ceci est aussi possible pour les grandes énergies, alors que la réciproque n’est pas vraie.

L’application au champ de la théorie coulombienne de la théorie des perturbations développée ici exige une étude particulière.

Dans un champ \(U=\cfrac{\alpha}{r}\) , on ne saurait spécifier une région finie de l’espace en dehors de laquelle \(U\) serait bien plus petit que dans cette région elle-même.

On peut obtenir la condition cherchée en substituant au paramètre \(a\) de (6) la distance variable \(r\) ; on est conduit à l’inégalité : \[\frac{\alpha}{\hbar~v}~\ll~1\qquad(7)\]

Par conséquent, pour de grandes énergies de la particule, le champ coulombien peut être assimilé à une perturbation.

Enfin, déduisons une formule déterminant approximativement la fonction d’onde d’une particule d’énergie \(E\) excédant notablement partout l’énergie potentielle \(U\).

En première approximation, la dépendance de la fonction d’onde vis-à-vis des coordonnées est la même que pour le mouvement libre (dont la direction sert d’axe des \(x\)). En conséquence, cherchons \(\Psi\) sous la forme : \[\Psi~=~\exp(i~k~x)~F\]

\(F\) fonction des coordonnées variant lentement en comparaison du facteur \(\exp(i~k~x)\)

Substituant dans l’équation de Schrödinger, on obtient pour \(F\) l’équation : \[2i~k~\frac{\partial F}{\partial x}~=~\frac{2~m}{\hbar^2}~U~F\qquad(8)\]

d’où l’expression cherchée : \[\Psi~=~\exp(i~k~x)~F~=~\text{cte}~\exp(i~k~x)~\exp\Big(-\frac{i}{\hbar~v}\int U~dx\Big)\qquad(9)\]

Noter qu’elle n’est pas applicable aux trop grandes distances.

On a omis dans (8) le terme \(\Delta F\) contenant les dérivées \(\cfrac{\partial^2F}{\partial x^2}\) et \(\cfrac{\partial F}{\partial x}\) de \(F\). Il tend vers zéro aux grandes distances.

En ce qui concerne les dérivées par rapport aux coordonnées transversales (\(y,~z\)), elles ne tendent pas vers zéro et on ne peut en faire abstraction que si \(x\ll k~a^2\).

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