1. Exercice 1

1.1. Énoncé

Calculer le rayonnement d’un dipôle de longueur  \(l~=~p~\cfrac{\lambda}{2}~,~~p\) entier excité par une onde stationnaire de courant.

1.2. Réponse

Rappelons l’expression du champ électrique (doublet de Hertz) : \[dE=\frac{60\pi}{r~\lambda}~I~\exp\Big\{j~\omega~\Big(t-\frac{r}{v}\Big)\Big\}~\sin\theta~dx\]

Le champ produit par un dipôle de longueur finie \(l\) s’obtient par intégration : \[E=\int_0^l dE\]

Comme le courant est celui d’une onde stationnaire, son amplitude a pour expression : \[I~=~I_0~\sin\frac{2\pi~x}{\lambda}\]

\(x\) est compté à partir du nœud de courant situé en \(O\).

On peut admettre l’approximation : \[MP\approx r_0+x~\cos\theta\]

On a alors : \[|E|=\frac{30}{r}~\sin\theta~I_0~|A|\]

\(A\) étant l’expression intégrale : \[A=\int_0^l\sin\frac{2\pi~x}{\lambda}~\exp\Big(-j~\frac{2\pi~x~\cos\theta}{\lambda}~\Big)~dx\]

Pour calculer cette intégrale, on lui associe son intégrale complémentaire \(B\) : \[B=\int_0^l\cos\frac{2\pi~x}{\lambda}~\exp\Big(-j~\frac{2\pi~x~\cos\theta}{\lambda}~\Big)~dx\]

On intègre alors \(B+j~A\), donc sur une simple exponentielle à l’argument un peu long.

Noter de plus que : \[\frac{\omega}{v}=\frac{2\pi}{\lambda}\]

Il suffit d’extraire la partie imaginaire du résultat.

Tous calculs faits :

\[\begin{aligned} A~\sin^2\theta&=1-\cos u~\cos(u\cos\theta)-\cos\theta~\sin u~\sin(u\cos\theta)\\ &+j~\cos u~\sin(u\cos\theta)-j~\cos\theta~\sin u~\cos(u\cos\theta)\end{aligned}\]

Et en ayant posé : \[l=p~\frac{\lambda}{2}\quad\text{et}\quad u=\frac{2\pi}{\lambda}~l=p~\pi\]

On obtient : \[|A|^2~\sin^4\theta=2~\{1-\cos u\cos(u\cos\theta)\}\]

Et en définitive :

\(p\) impair :

\[\begin{aligned} \cos u&=-1\\ |E|&=\frac{60}{r}~I_0~\frac{\cos\cfrac{p~\pi}{2}~\cos\theta}{\sin\theta}\end{aligned}\]

\(p\) impair :

\[\begin{aligned} \cos u&=1\\ |E|&=\frac{60}{r}~I_0~\frac{\sin\cfrac{p~\pi}{2}~\cos\theta}{\sin\theta}\end{aligned}\]

2. Exercice 2

2.1. Énoncé

Calculer la résistance de rayonnement d’un dipôle \(\cfrac{\lambda}{4}\) (onde stationnaire de courant).

2.2. Réponse

La résistance de rayonnement s’obtient en écrivant que la puissance \(RI_{eff}^2\) dépensée dans l’antenne est égale au flux du vecteur de Poynting \(P\) à travers une surface \(S\) entourant l’antenne.

On peut toujours prendre comme surface \(S\) une sphère de rayon \(r\) centrée sur l’antenne.

Expression de l’élément de surface : \[dS=2\pi~r\sin\theta~r~d\theta\]

Expression du vecteur de Poynting : \[P_{eff}=E_{eff}\wedge H_{eff}=\frac{E_{eff}\wedge E_{eff}}{120\pi}=\frac{E_{eff}^2}{120\pi}\]

Expression du flux élémentaire : \[P_{eff}~dS=\frac{r^2}{60}~\sin\theta~E_{eff}^2~d\theta\]

En se référant à l’exercice précédent (intégrale \(A\)), on a pareillement : \[E_{eff}=\frac{30}{r}\sin\theta~I_{eff}~|A|\]

\(A\) étant l’intégrale : \[\int_0^{2\pi~l/\lambda}\sin u~\exp(-j~u\cos\theta)~du\]

On a alors : \[RI_{eff}^2=\iint P_{eff}~dS=2\int_0^{\pi/2}\frac{r^2}{60}~\sin\theta~\frac{900}{r^2}~\sin^2\theta~I_{eff}^2~|A|^2~d\theta\]

Ce qui donne : \[R=30\int_0^{\pi/2}\sin^3\theta~|A|^2~d\theta\]

On connaît l’expression de \(|A|^2\) (cf. exercice précédent) : \[|A|^2\sin^4\theta=2~\{1-\cos u~\cos(u~\cos\theta)\}\]

en y faisant  \(u=\cfrac{\pi}{2}\).

On obtient ainsi : \[R=30\int_0^{\pi/2}\frac{1-2~\cos\theta~\sin\Big(\cfrac{\pi}{2}~\cos\theta\Big)+\cos^2\theta}{\sin\theta}~d\theta\]

Une évaluation graphique de l’intégrale donne la valeur \(0,66\).

D’où \(R\approx 20~\Omega\).