L'origine du concept mathématique d'espace de Hilbert remonte à celle des développements de fonctions arbitraires en séries de fonctions orthogonales (séries de Fourier par exemple).
Extension de la notion d'espace euclidien à une dimension quelconque (finie ou infinie), il est essentiellement un espace vectoriel muni d'un produit scalaire et de normes.
Il s'agit également d'un espace complet, d'où la possibilité d'appliquer les techniques de l'analyse mathématique.
Comme en coordonnées cartésiennes, l'élément d'un espace de Hilbert est défini de manière unique par ses coordonnées relativement à une base orthonormale.
Une application particulièrement importante en physique théorique est celle du spectre d'un opérateur linéaire.
L'espace de Hilbert peut être effectivement étiré suivant différents coefficients dans des directions deux à deux perpendiculaires dans un sens précisé par l'étude de leur spectre.
