C'est en abordant mon certificat de Mathématiques générales, dans les années 1960 que j'ai découvert qu'en fait l'on savait extraire la racine carrée d'un nombre négatif.
En souvenir de classe de troisième, le professeur m'ayant octroyé, avec fort mauvaise humeur, la note zéro à une question de devoir sur table pour avoir osé écrire x² = – 4. Et pourtant !
Le mathématicien Cardan serait à l'origine de ces nombres complexes, appelés sophistiqués, puis imaginaires, en justifiant la présence d'un terme indispensable, voire vital à la résolution de son équation : un carré négatif. Ainsi naquit le plan complexe.
Le nombre devenait un point (affixe) de cette extension à deux dimensions. Une abscisse dite réelle (ensemble des nombres aux carrés normalement positifs). Une ordonnée dite imaginaire pure (ensemble des nombres aux carrés curieusement négatifs, en particulier i telle que i² = – 1).
Un point, un couple introduisant une apparente complication qui allait dans le sens de la simplification des problèmes, dans leur présentation et dans leur traitement.
Une forme trigonométrique dans la ligne de la majorité des phénomènes de la physique (en particulier la composition des mouvements), exprimés en amplitude (prélude à l'énergie) et en phase, l'extension à un espace à n dimensions devenant tout à fait naturelle.
Ceux qui ont connu les problèmes d'électricité résolus par la construction de Fresnel, puis par les nombres complexes se souviennent d'une sorte de soulagement.
Les fonctions de la variable complexe ont été l'aboutissement de la construction de ce processus de simplification. Le plus remarquable étant peut-être celui du calcul intégral par la méthode des résidus, en contournant l'obstacle du point singulier (remerciements à Jordan pour son lemme).
Et puis,dans le prolongement de tout ceci, les changements d'espace au moyen des transformations. Celles-ci feront l'objet d'une prochaine rubrique...
