Le calcul tensoriel a été introduit en 1900 par Gregorio Ricci-Curbastro et Tullio Levi-Civita.
L'existence du tenseur a permis que soit dépassée l'image classique du vecteur défini dans son espace à trois dimensions, donc trois nombres ou composantes : direction, sens et longueur. Le calcul tensoriel a pu alors se présenter comme une extension de la théorie des vecteurs à des espaces à plus de trois dimensions en allant au-delà des seules dimensions géométriques donc immédiatement perceptibles.
La caractéristique fondamentale de ce système est ce que l'on appelle la notion d'invariance. Le système de coordonnées associé n'est pas nécessairement géométrique, mais il faut cependant que les expressions et les propriétés trouvées aient une signification géométrique. Il faut qu'elles soient indépendantes du choix de ce système ou, comme l'on dit, qu'elles soient des invariants dans tout système choisi.
C'est ce qui a permis de pouvoir expliquer et traduire les théories de la relativité dont il est le moyen d'expression indispensable.
D'un point de vue strictement mathématique, l'objet du calcul tensoriel est donc d'étudier les transformations des composantes des tenseurs par changements de systèmes de coordonnées et d'en déduire des invariants. Le calcul tensoriel constitue en outre un puissant outil de l'analyse mathématique particulièrement utile en mécanique classique.
