1. Égalité de deux tenseurs

Deux tenseurs de même variance sont égaux si leurs composantes ayant les mêmes indices sont égales.

2. Opérations linéaires

Si l’on additionne plusieurs tenseurs de même variance, ou si on multiplie un tenseur par un nombre, on obtient un tenseur de même variance.

La vérification de cette propriété est immédiate.

3. Produit ordinaire

\(x_{ij}\) et \(y^k\) étant des tenseurs, \[z_{ij}^k=x_{ij}~y^k\]

est aussi un tenseur : c’est le produit ordinaire des deux premiers.

Ce résultat est une conséquence immédiate de la définition générale des tenseurs.

4. Contraction

Soit \(x_i^{jk}\) un tenseur mixte.

Choisissons parmi ses composantes celles dont les indices \(i\) et \(j\) sont égaux.

Posons \(y^k=x_i^{ik}\) (\(i\) devenant alors un indice muet).

\(y^k\) est un tenseur.

En effet, si nous changeons de repère : \[X_u^{vw}=a_u^i~b_j^v~b_k^w~x_i^{jk}\]

Or, les valeurs correspondantes de \(y^k\) sont : \[Y^w=X_u^{uw}=a_u^i~b_j^u~b_k^w~x_i^{jk}=g_j^i~b_k^w~x_i^{jk}=b_k^w~x_i^{ik}\]

Car :

\[\begin{aligned} &g_i^j=1\quad\text{si}\quad i=j\\ &g_i^j=0\quad\text{si}\quad i\neq j\end{aligned}\]

Donc : \[Y^w=b_k^w~y^k\]

Cette opération qui, à partir des \([x]\) donne les \([y]\) s’appelle une contraction. Elle affecte deux indices de variance contraire qui se saturent réciproquement sans affecter les autres. On peut contracter simultanément par rapport à plusieurs couples d’indices.

On obtient un scalaire s’il ne subsiste aucun indice libre et ce scalaire est invariant par tout changement de repère. Par exemple, le produit contracté de deux vecteurs est un scalaire : il est invariant dans un changement de base.

5. Critère général de tensorialité

Pour que l’ensemble des quantités \(t_i^{jk}\) attaché à un repère définisse un tenseur, il faut et il suffit que, quel que soit le tenseur \(x_k\), l’ensemble des quantités \(t_i^{jk}x_k\) (\(k\) indice muet) définisse un tenseur.

La condition est évidemment nécessaire d’après ce qui a été vu au paragraphe précédent ; nous allons montrer qu’elle est suffisante.

Puisque \(y_i^j=t_i^{jk}x_k\) est un tenseur par hypothèse, si on change de repère, on a : \[Y_u^v=a_u^i~b_j^v~y_i^j\]

En remplaçant les deux membres par leur définition, et en désignant par \(T_u^{vw}\) les transformées des \(t_i^{jk}\)  : \[T_u^{vw}X_w=a_i^u~b_j^u~t_i^{jk}\]

Or : \[x_k=b_k^wX_w\]

Donc : \[T_u^{vw}X_w=a_u^i~b_j^v~b_k^w~t_i^{jk}~X_w\]

ce qui démontre que les \(t\) sont les composantes d’un tenseur.

Remarque

Nous avons introduit les quantités :

\[\begin{aligned} &g_i^j=1\quad\text{si}\quad i=j\\ &g_i^j=0\quad\text{si}\quad i\neq j\end{aligned}\]

Nous avons évidemment : \[g_j^i~x_i=x_j\]

donc les \(g_j^i\) sont les composantes d’un tenseur puisque son produit contracté par un vecteur reproduit le même vecteur (qui est un tenseur).

Ce tenseur particulier est appelé tenseur de Kronecker.

Effectuons un changement de repère quelconque : \[G_r^s=a_r^i~b_j^s~g_i^j=a_r^i~b_i^s=g_r^s\]

Ce tenseur a donc les mêmes composantes dans tout repère : c’est le tenseur de la transformation identique.

6. Mécanismes de calcul sur les tenseurs

La notation condensée par le tenseur simplifie les calculs lorsque l’outil est bien assimilé : elle permet d’effectuer mécaniquement des transformations de calcul dont on a une fois pour toutes vérifié la légitimité.

Il existe des transformations de calcul propres au calcul tensoriel :

6.1. Contraction d’une égalité

On a immédiatement : \[t_i^{jk}=s_i^{jk}\quad\Rightarrow\quad t_i^{ik}=s_i^{ik}\]

6.2. Simplification par \(g_i^j\)

Nous avons déjà vu précédemment comment se légitiment ces simplifications :

– Indices \(i\) et \(j\) libres :

\[\begin{aligned} g_i^j~t_{kl}&=0 ~~\qquad\text{si}\quad i\neq j\\ g_i^j~t_{kl}&=t_{kl} \qquad\text{si}\quad i=j\end{aligned}\]

– Indice \(i\) muet et indice \(j\) libre

On supprime \(g_i^j\) et on fait \(i~\rightarrow j\) dans ce qui reste : \[g_i^jt_{kl}^i=t_{kl}^j\]

– Indices \(i\) et \(j\) muets

On supprime \(g_i^j\) et on fait \(i=j\) dans ce qui reste : \[g_i^j~t_k^i~x_j=t_k^i~x_i\]

6.3. Changement de nom d’indice muet

Cette opération peut être imposée par la nécessité d’éviter une confusion ou bien constituer un moyen puissant de démonstration. On s’intéresse au premier cas :

Si au cours d’une démonstration nous obtenons : \[t_i^j=x_i^j~y_m^l~z_i^m\quad(1)\]

Et si, par un autre calcul, nous avons obtenu  : \[z_i^m=u_j^m~v_i^j\qquad(2)\]

Alors, avant de remplacer dans (1) \(z_i^m\) par sa valeur provenant de (2), nous devons dans cette égalité changer l’indice muet \(j\) par une autre lettre (\(k\) par exemple) non utilisée dans (1) de façon à éviter l’introduction de trois indices \(j\) dans cette formule : \[t_i^j=x_i^j~y_m^l~u_k^m~v_i^k\]