1. Espaces vectoriels normés

Une norme sur un espace vectoriel E est une application de E dans \(\mathbb{R}\) (espace des réels) possédant les propriétés suivantes :

\[\begin{aligned} ||x||&\geq 0 &&\forall x\in E\\ ||x||&=0\quad \Leftrightarrow\quad x=0 &&\forall x\in E\\ ||\lambda x||&=|\lambda|.||x|| && \forall x\in E,~\forall\lambda\in \mathbb{R}\\ ||x+y||&\leq ||x||+||y|| && \forall x\in E,~\forall y\in E\end{aligned}\]

La dernière forme exprime l’inégalité triangulaire.

Il en résulte que : \[d(x,y)=||x-y||\]

est une distance qui vérifie :

\[\begin{aligned} d(x,y) &\leq d(x,z)+d(z,y)\\ d(\lambda x,\lambda y) &\leq |\lambda|.d(x,y)\end{aligned}\]

2. Applications linéaires et continues

Soient E et F deux espaces vectoriels normés et \(u\) une application linéaire de E dans F. L’action de \(u\) sur un vecteur \(x\in E\) est notée \(u(x)\) ; elle est parfois écrite directement \(u.x\) pour alléger l’écriture.

Si E = F, alors \(u\) est appelé opérateur linéaire ou plus simplement opérateur. Pour que \(u\) soit continue, il faut et il suffit que \(u\) soit continue à l’origine.

Théorème 1

Pour que \(u\) soit continue, il faut et il suffit qu’il existe un nombre \(m>0\) tel que : \[\forall x\in E \qquad ||u(x)|| \leq m.||x||\]

L’espace vectoriel des applications linéaires et continues de E dans F se note L(E,F) et plus simplement L(E) si E = F.

Théorème 2

Soient E, F, G trois espaces vectoriels et les applications linéaires \(u\in L(E,F)\) et \(v\in L(F,G)\). On peut écrire concernant l’application composée : \[v\circ u \in L(E,G)\qquad \text{et}\qquad ||v\circ u|| \leq ||v||.||u||\]

Théorème 3

Pour que deux normes \(||~||_1\) et \(||~||_2\) sur un espace vectoriel E soient équivalentes, il faut et il suffit qu’il existe deux constantes \(a>0,~b>0\) telles que : \[||x||_1\leq a.||x||_2 \qquad \text{et}\qquad ||x||_2\leq b.||x||_1 \qquad \forall x\in E\]

3. Produit scalaire

3.1. Formes hermitiennes

Une forme hermitienne sur un espace vectoriel E complexe (resp. réel) est une application \(f\) de \(E\times E\) sur \(\mathbb{C}\) (resp. \(\mathbb{R}\)) vérifiant :

\[\begin{aligned} f(x+x',y)&=f(x,y)+f(x',y) &x',~x,~y &\in E \\ f(x,\lambda x)&=\lambda .f(x,y) &\lambda &\in \mathbb{C} \\ \overline{f(y,x)}&=f(x,y)\end{aligned}\]

NB : \(\overline{z}\) est la conjugaison complexe de \(z=ai+b\) dans \(\mathbb{C}~:~\overline{z}=ai-b\)

Il en résulte que :

\[\begin{aligned} f(x,y+y')&=f(x,y)+f(x,y')\\ f(\lambda .x)&=\overline{\lambda}.f(x,y)\end{aligned}\]

La convention utilisée est celle de la physique : \(f\) est linéaire par rapport à la deuxième variable.

Si E est réel, \(f\) est une forme bilinéaire symétrique.

Deux vecteurs \(x,y\) sont orthogonaux par rapport à la forme hermitienne \(f\) si \(f(x,y)=0\) . On écrit dans ce cas \(x\bot y\) . Un vecteur isotrope est un vecteur \(x\) tel que \(f(x,x)=0\).

Forme hermitienne positive

Une forme hermitienne sur un espace vectoriel E est positive si : \[f(x,x)\geq 0\qquad \forall x\in E\]

3.2. Inégalité de Schwartz. Inégalité triangulaire

Si \(f\) est une forme hermitienne positive, alors : \[{|f(x,y)|}^2\leq f(x,x).f(y,y)\qquad \forall (x,y)\in E\times E\]

On a donc dans ce cas : \[\sqrt{f(x+y,x+y)}\leq 2\sqrt{f(x,x).f(y,y)}\]

Ce résultat découle de l’inégalité de Schwartz : \[f(x,y)+f(y,x)=2~Re\{f(x,y)\}\leq 2|f(x,y)| \leq 2\sqrt{f(x,x).f(y,y)}\]

3.3. Produit scalaire

Une forme hermitienne positive non dégénérée s’appelle produit scalaire, avec les deux notations possibles :

\[\begin{aligned} E\times E \quad &\rightarrow \quad \mathbb{C}\\ (x,y)\quad &\rightarrow \quad (x|y)\\ (x,y)\quad &\rightarrow \quad <x|y>\end{aligned}\]

Il lui correspond une norme définie par : \[||x||=\sqrt{(x,x)}\]

Et l’inégalité de Schwartz : \[||(x,y)|| \leq ||x||.||y||\]