1. Définitions

On appelle espace vectoriel préhilbertien complexe un espace vectoriel sur le corps \(\mathbb{C}\) des nombres complexes muni d’un produit scalaire ou produit hermitien, c’est-à-dire une application : \[E\times E \rightarrow \mathbb{C} \qquad\text{notée}\qquad (x,y)\mapsto (x|y)\]

satisfaisant aux conditions suivantes :

– L’application \((x,y)\mapsto (x|y)\) est sesquilinéaire :

Pour tout élément \(x \in E\), l’application \(x \mapsto (x|y)\) est linéaire : \[\forall~y_1,y_2 \in E,~\forall~\alpha_1,\alpha_2 \in E, \quad (x|\alpha_1 y_1+\alpha_2 y_2) = \alpha_1(x|y_1)+\alpha_2(x|y_2)\]

Pour tout élément \(y \in E\), l’application \(y \mapsto (x|y)\) est semi-linéaire : \[\forall~x_1,x_2 \in E,~\forall~\alpha_1,\alpha_2 \in E, \quad (\alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2|y) = \overline{\alpha_1}(x_1|y)+\overline{\alpha_2}(x_2|y)\]

– L’application \((x,y)\mapsto (x|y)\) est hermitienne si de plus  : \[\forall~x,y \in E, \quad (y|x)=\overline{(x|y)}\]

– L’application \((x,y)\mapsto (x|y)\) est hermitienne positive : \[\forall~x \in E, \quad (x|x)\geq 0\]

– L’application \((x,y)\mapsto (x|y)\) est définie : \[\forall~x \in E, \quad (x|x)=0\quad\Rightarrow\quad x=0\]

Un espace préhilbertien complexe de dimension finie est dit hermitien.

2. Théorème 1

Pour tout couple (x,y) d’éléments d’un espace préhilbertien E, on a (inégalité de Schwartz) : \[{|(x|y)|}^2\leq (x|x).(y|y)\]

Écartons le cas où l’un des deux vecteurs \(x,y\) est nul. Écrivons que, pour tout nombre réel \(\alpha\) et tout nombre complexe \(\beta\) de module 1, le nombre réel : \[(x+\alpha\beta.y|x+\alpha\beta.y)=\alpha\beta.\overline{\alpha\beta}.(y|y)+\alpha\beta.(y|x)+(x|x)\geq 0\]

Ou encore : \[{\alpha}^2(y/y)+2\alpha~\Re\{\overline{\beta}.(x|y)\}+(x|x)\geq 0\]

Par suite, le discriminant de ce trinôme du second degré en \(\alpha\) est négatif ou nul pour tout nombre complexe \(\beta\) de module 1 : \[\{\Re\big[\overline{\beta}.(x|y)\big]\}^2 \leq (x|x).(y|y)\]

L’inégalité cherchée étant évidente lorsque \((x|y)=0\). Écartons ce cas. Nous obtenons alors l’inégalité de Schwartz en posant : \[\beta=\frac{(x|y)}{|(x|y)|}\]

Lorsque l’espace vectoriel E est hermitien, on montre qu’il y a égalité dans l’inégalité de Schwartz si et seulement si les vecteurs sont colinéaires.

3. Théorème 2

Soit E un espace vectoriel préhilbertien. L’application qui, à tout vecteur \(x\in E\), associe le nombre réel positif \(||x||=\sqrt{(x|x)}\) est une semi-norme sur E, dite associée à la forme sesquilinéaire \((x,y)\mapsto (x|y)\). En effet, pour tout nombre complexe \(\alpha\), on a : \[||\alpha.x||=|\alpha|.||x||\]

Pour tout couple de vecteurs \((x,y)\in E\), on a successivement :

\[\begin{aligned} {||x+y||}^2&=(x+y|x+y)={||x||}^2+{||y||}^2+2~\Re(x|y)\\ \{||x||+||y||\}^2&=||x||^2+||y||^2+2~||x||.||y||\end{aligned}\]

De ces deux relations, de la relation \(\Re(x|y)\leq |(x|y)|\) et de l’inégalité de Schwartz découle l’inégalité triangulaire : \[||x+y||\leq ||x||+||y||\]

La semi-norme précédente est une norme si et seulement si l’espace vectoriel E est hermitien. Le nombre réel \(||x||\) s’appelle alors norme hermitienne du vecteur \(x\) et le nombre \(||x-y||\) est appelé distance hermitienne des points \(x,y\).

Dans ces conditions, il y a égalité dans l’inégalité triangulaire si et seulement si les vecteurs \(x,y\) sont colinéaires et de même sens, c’est à dire s’il existe un couple \((\alpha,\beta)\) de nombres réels positifs, non tous deux nuls tels que \(\alpha.x=\beta.y\).