La notation brakets (ou crochets) a été introduite par Dirac pour la mécanique quantique. À mon époque, nous en avions connaissance, mais pas l’usage systématique. Nous les retrouvons ici pour les essentiels de base, car les méthodes de calcul ont bien évolué.
1. La forme braket
Rappelons que l’espace de Hilbert est un espace vectoriel de dimension finie ou infinie, muni d’une norme et d’un produit scalaire positif, complet et séparable (c’est-à-dire qu’il contient un ensemble dénombrable et dense).
Le point de départ est le produit scalaire (ici hermitien). Par convention, le vecteur au sens traditionnel est ici noté : \(|U\rangle\) (notation de Dirac), ou bien pour une fonction : \(|\psi(t)\rangle\).
Produit scalaire entre deux opérateurs : \[\langle \psi_1~|~\psi_2 \rangle~=~\{\langle \psi_2~|~\psi_1 \rangle\}^*\]
La notation \(^*\) désignant le complexe conjugué au sens hermitien.
Relation aux symboles dans le produit scalaire : \[|U\rangle\cdot|V\rangle~=~\langle U|V\rangle \qquad\text{ou}\qquad |\phi\rangle\cdot |\psi\rangle~=~\langle \phi|\psi\rangle\]
D’où l’apparition d’un symbole dual \(\langle U|\) ou \(\langle \psi(t)|\).
Dirac a exploité la dualité entre les deux vecteurs désignés respectivement par bra pour \(\langle U|\) et ket pour \(|V\rangle\) pour former bra-ket ou \(\langle U|V\rangle\), le terme anglais bracket (avec un C) signifiant crochets (parenthèses).
2. Les vecteurs bra et ket
2.1. Dualité
Le vecteur \(|V\rangle\), ou ket \(V\), apparaît comme un vecteur de l’espace de Hilbert \(E_H\). Le vecteur \(\langle U|\) apparaît alors comme un vecteur de l’espace dual \(E_H^*\). Il permet d’introduire et de caractériser le produit scalaire.
Imaginer le produit d’une matrice ligne (bra) par une matrice colonne (ket). Pour prendre l’exemple d’un système de dimension 4 : \[|U\rangle\cdot |V\rangle~=~\langle U|V\rangle = \begin{pmatrix} d_1^*~~d_2^*~~d_3^*~~d_4^* \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} d_1\\ d_2\\ d_3\\ d_4 \end{pmatrix}\]
2.2. Linéarité et non linéarité
Considérons deux vecteurs et deux nombres complexes \(\alpha\) et \(\beta\).
Il y a linéarité à droite : \[|\alpha~U\rangle~+~|\beta~V\rangle~=~\alpha~|U\rangle~+~\beta~|V\rangle\]
Il y a non linéarité à gauche (forme sesquilinéaire) : \[\langle\alpha~U|~+~\beta~V|~=~\alpha^*~\langle U|~+~\beta^*~\langle V|\]
L’étoile * correspond au complexe conjugué (en fait le produit hermitique).
Par suite, pour le produit scalaire : \[\langle V|U\rangle~=~\langle U|V\rangle^*\]
2.3. Norme et base
Norme : \(\quad ||U||^2~=~\langle U|U\rangle\)
Base orthonormée de l’espace de Hilbert : \[\langle u_i|u_j\rangle~=~\delta_{ij} \qquad;\qquad \delta_{ij}~:~\text{symbole de Kronecker}\]
Supposons que l’on veuille décomposer \(|\Phi\rangle\) dans sa base \(w_n\), les coefficients étant les produits scalaires \(w_n= \langle w_n|\Phi\rangle\). On aura : \[|\Phi\rangle~=~\sum_n|w_n\rangle~=~\sum_n \langle w_n|\Phi\rangle~|w_n\rangle\]
Les \(\langle w_n|\Phi\rangle\) sont les représentations de \(|\Phi\rangle\) dans la base des \(w_n\).
2.4. Valeur propre et vecteur propre
Le vecteur propre \(|\phi_{\lambda}\rangle\) de l’opérateur \(\hat{A}\) associé à la valeur propre \(\lambda\) satisfait à la relation : \[\hat{A}|\phi_{\lambda}\rangle~=~\lambda~|\phi_{\lambda}\rangle\]
3. Opérateurs linéaires
Action d’un opérateur linéaire \(\hat{A}\) sur un vecteur : \[\hat{A}|U\rangle~=~|U'\rangle\]
On appelle élément de matrice entre \(u\) et \(v\) le produit scalaire : \[\langle U|\hat{A}|V\rangle~~=~\langle U|V'\rangle\]
Posons à priori : \(\quad\hat{A}~=~|U\rangle~\langle V|\)
Nous pouvons vérifier que cette forme est bien celle d’un opérateur.
On introduit pour cela un ket intermédiaire \(|W\rangle\) à droite dans les deux membres de la relation précédente. Et en comparant avec la toute première relation de linéarité de l’opérateur : \[\hat{A}|W\rangle~=~|U\rangle~\langle V|W\rangle~=~\lambda~U\]
Opérateur adjoint
L’opérateur adjoint, noté habituellement \(\hat{A}^+\), est défini par la relation : \[\langle U|A|V\rangle~=~\langle V|A^+|U\rangle^*\]
L’opérateur est dit hermitique si \(\hat{A}~=~\hat{A}^+\)
On a alors : \[\langle U|\hat{A}|V\rangle~=~\langle V|\hat{A}|U\rangle^*\]
4. Anecdote
L’anecdote suivante vient du physicien Richard F. Feynman, dans son ouvrage de mécanique quantique (Inter Editions, Paris, 1979, Ch. 8, p.134).
Point de départ : la similitude entre les équations de la mécanique et les produits scalaires. Ainsi, pour passer d’un état \(\chi\) à un état \(\phi\), une somme exprime, sur un ensemble complet d’états de base, des amplitudes de \(\chi\) à \(\phi\). Et on écrit : \[\langle\chi|\phi\rangle~=~\sum_i \langle\chi|i\rangle~\langle i|\phi\rangle\]
Et l’auteur effectue progressivement une démarche de simplifications :
Disparition de \(\chi\), à gauche dans chacun des membres : \[|\phi\rangle~=~\sum_i |i\rangle~\langle i|\phi\rangle\]
L’équation étant vraie pour tout \(\phi\), il est inutile de conserver \(\phi\). Donc disparition de \(\phi\) à droite dans chaque membre (résultat identité) : \[\hat{I}~=~\sum_i |i\rangle~\langle i|\]
Ainsi, partant de n’importe quelle paire d’états \(\chi\) et \(\phi\) à gauche et à droite, on peut remonter à la relation d’origine.
Les problèmes ne se présentent pas de manière aussi crue, mais on a une idée de la puissance du processus qui exige quand même une certaine expertise en la matière, car il existe des règles de manipulation de ces objets symboliques.
Signalons au passage la similitude du propos avec la relation précédente concernant l’opérateur \(\hat{A}~=~|U\rangle~\langle V|\).
5. Une séquence intéressante
De l’état initial \(\chi\) à l’état final \(\Phi\),
deux opérateurs \(\hat{A}\) et \(\hat{B}\),
et la séquence (en commençant par l’identité) : \[\begin{aligned} \hat{I}~&=~\sum_i |i\rangle~\langle i|\\ |\Phi\rangle~&=~\sum_i |i\rangle~\langle i| \Phi\rangle\\ \langle\chi|\Phi\rangle~&=~\sum_i\langle\chi|i\rangle~\langle i|\Phi\rangle\\ \langle\chi |\hat{A}| \Phi\rangle~&=~\sum_{ij}\langle\chi |i\rangle~\langle i|\hat{A}|j\rangle~\langle j|\Phi\rangle\\ \langle\chi|\hat{B}\hat{A}|\Phi\rangle~&=~\sum_{ijk}\langle\chi|i\rangle~\langle i|\hat{B}|j\rangle~\langle j|\hat{A}|k\rangle~\langle k|\Phi\rangle\end{aligned}\]
Sites consultés
– Laboratoire de Chimie Quantique de l’Université de Strasbourg :
https://quantique.u-strasbg.fr
– Laboratoire Kastler Brossel, unité mixte de recherche de l’École Normale Supérieure, de Sorbonne Université, du Collège de France et du Centre national de la recherche scientifique (CNRS) :
– Laboratoire de physique théorique et modèles statistiques (LPTMS), unité mixte de recherche (UMR 8626) du CNRS et de l’Université Paris-Saclay :
