1. Dérivation sous le signe intégral

On considère l’expression : $$E(x)~=~\frac{d}{dx}\Big\{\int_{a(x)}^{b(x)}\Psi(x,t)~dt\Big\}$$

dans laquelle $\Psi(x,t)$ est une fonction continue en $x$ et en $t$ et admet des dérivées du premier ordre continues. Il en est de même pour $a(x)$ et $b(x)$.

On démontre que : $$E(x)~=~\int_{a(x)}^{b(x)}\frac{\partial\Psi(x,t)}{\partial x}~dt~+~b'(x)~\Psi{\{x,~b(x)\}}~-~a'(x)~\Psi{\{x,~a(x)\}}$$

Cas particuliers intéressants :

1) $a$ et $b$ sont indépendants de $x$ : $$\frac{d}{dx}\Big\{\int_a^b\Psi(x,t)~dt\Big\}=\int_a^b\Big\{\frac{\partial\Psi(x,t)}{\partial x}\Big\}~dt$$

2) $\Psi$ est indépendante de $x$ : $$\frac{d}{dx}\Big\{\int_{a(x)}^{b(x)}\Psi(x,t)~dt\Big\}=~b'(x)~\Psi{\{x,~b(x)\}}~-~a'(x)~\Psi{\{x,~a(x)\}}$$

3) Forme triviale mais intéressante : $$\frac{d}{d\alpha}\Big\{\int_0^{\pi/2}\sin(\alpha t)~dt\Big\} = \int_0^{\pi/2}\alpha~\cos(\alpha t)~dt =\Big[\sin(\alpha t)\Big]_{t~=~0}^{\pi/2} =~\sin\big(\alpha~\frac{\pi}{2}\big)$$

Une application immédiate est celle de la relation entre la densité de probabilité $f(u)$ et la fonction de répartition $F(u)$ dans le calcul des probabilités (variable aléatoire $u$ continue) : $$f(u)~=~F'(u)~=~\frac{d}{du}F(u)$$

2. Des formules d’intégration intéressantes

$a(x)$ et $b(x)$ sont des fonctions de la variable réelle $x$ ; $c$ est un nombre réel : $$\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-ax^2\pm 2bx-c}~dx~ =~\sqrt{\frac{\pi}{a}}~e^{-(ac-b^2)/a}$$

On peut par exemple vérifier que : $$\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx~=\sqrt{\pi}$$

Une application au calcul de la fonction caractéristique d’une variable aléatoire gaussienne(centrée) :

$$\Phi(t)~=~\int_{-\infty}^{+\infty}~e^{-x^2/2}~e^{jtx}~dx~=~e^{-t^2/2}$$

Avec $a=1/2$ ;$\quad 2b=jt$ ;$\quad c=0$

Deux primitives à connaître au passage : $$\begin{aligned} \int\frac{ax+b}{cx+d}~dx ~&=~ \frac{ax}{c}~+~\frac{bc-ad}{c^2}~\ln\left(x+\frac{d}{c}\right)~+~k\\ \int\frac{1}{ax^2+bx+c}~dx ~&=~ \lambda~\ln\lvert x-r_1\rvert~+~\mu~\ln\lvert(x-r_2\rvert~+~k\end{aligned}$$

$r_1$ et $r_2$ étant les racines du polynôme.

Dans le cas particulier de la racine double, on aurait : $$\int\frac{1}{a~(x-r)^2}~dx ~=~ \frac{-1}{a~(x-r)}~+~k$$

3. Fonctions eulériennes

3.1. Fonctions de type 1

Pour rappel, ces fonctions $\Gamma(x)$ sont définies par : $$\Gamma(x)~=\int_0^{\infty}t^{x-1}~e^{-t}~dt$$

Noter la relation de récurrence : $\Gamma(x+1)~=~x~\Gamma(x)$

Ou encore, moyennant un changement de variable : $$(x-1)~\Gamma(x-1)~=~\Gamma(x)$$

Avec des nombres entiers ou demi-entiers : $$\Gamma(n+1)~=~n!$$

Formule des compléments : $$\Gamma(p)~\Gamma(1-p)~=~\frac{\pi}{\sin p~\pi}$$

Noter les deux formes initiales : $$\begin{aligned} \Gamma(1)~&=~\int_0^{\infty}e^{-t}~dt=1\\ \Gamma(1/2)~&=~\int_0^{\infty}~e^{-1/2}~e^{-t}~dt~=~\sqrt{\pi}\end{aligned}$$

3.2. Fonctions de type II

Pour rappel, ces fonctions $\beta(p,q)$ sont définies par : $$\beta(p,q)~=~\int_0^1 t^{p-1}~(1-t)^{q-1}~dt \qquad;\qquad \beta(p,q)~=~\beta(q,p)$$

Autre expression : $$\beta(p,q)~=~2\int_0^{\pi/2}\cos^{2p-1}\alpha~\sin^{2q-1}\alpha~~d\alpha$$

Relation entre les fonctions des deux types : $$\beta(p,q)~=~\frac{\Gamma(p)~\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}$$

4. Intégrales de Wallis

Les intégrales de Wallis sont du type : $$I_n~= \int_0^{\pi/2} \sin^n s~ds$$

Le changement de variable $\sin s = \sqrt{t}$ permet de montrer que : $$I_n~=~\frac{1}{2}~\beta~\left(\frac{n+1}{2},~\frac{1}{2}\right)~ =~\frac{\sqrt{\pi}}{2}~\frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\Gamma (\frac{n}{2}+1)}$$