1. Produit de convolution au sens habituel

Lorsqu’il existe, on appelle produit de convolution de deux fonctions localement sommables \(f(x)\) et \(g(x)\) la fonction \(h(x\)) définie par : \[h(x)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(t)~g(x-t)~dt\]

L’opération est commutative. Pour le démontrer, il suffit d’effectuer le changement de variable \(u=x-t\) : \[h(x)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}g(u)~f(x-u)~du\]

On écrit symboliquement : \[h(x)=f(x)\star g(x)\qquad\text{ou}\qquad (f\star g)(x)\]

Du fait de la linéarité de l’intégration, l’opération est distributive par rapport à l’addition : \[f(x)\star\{g_1(x)+g_2(x)\}=f(x)\star g_1(x)+f(x)\star g_2(x)\]

2. Produit tensoriel de distributions

Soient les deux fonctions \(\varphi\in\mathcal{D}(\mathbb{\mathbb{R}}^m)\) et \(\psi\in\mathcal{D}(\mathbb{\mathbb{R}}^n)\). La fonction : \[(x,y)\in\mathcal{\mathbb{R}}^{m+n}\rightarrow \varphi(x).\psi(y)\qquad x\in\mathcal{\mathbb{R}}^m,~y\in\mathcal{\mathbb{R}}^n\] est indéfiniment dérivable et à support compact.

Cette fonction est le produit tensoriel \(\varphi\otimes\psi\) des fonctions \(\varphi,~\psi\). \[\text{support}(\varphi\otimes\psi)=\text{support}(\varphi)\times \text{support}(\psi)\subset\mathbb{R}^{m+n}\]

Pour mémoire : le support de \(f\) est un ensemble fermé en dehors duquel \(f\) est nulle et en outre c’est le plus petit ayant cette propriété.

Ainsi : \[\varphi\otimes\psi\in\mathcal{D}(\mathcal{\mathbb{R}}^{m+n})\]

Considérons à présent \(S\in\mathcal{D'}(\mathbb{R}^m)\) et \(T\in\mathcal{D'}(\mathbb{R}^n)\).

Pour éviter des confusions, nous écrirons : \(S=S_x\) et \(T=T_y\).

2.1. Théorème

Il existe une distribution unique \(U\in\mathcal{D'}(\mathbb{R}^{m+n})\) telle que pour tout \(\varphi\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^m)\) et tout \(\psi\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)\) : \[\langle U,\varphi\otimes\psi\rangle =\langle S,\varphi\rangle .\langle T,\psi\rangle\]

En outre, si \(\theta\in\mathcal{D}(\mathcal{\mathbb{R}}^{m+n})\) est arbitraire, on a : \[\langle U,\theta\rangle =\langle S_x,\langle T_y,\theta(x,y)\rangle \rangle =\langle T_y,\langle S_y,\theta(x,y)\rangle \rangle\]

où toutes les opérations sont bien définies.

La distribution U s’appelle produit tensoriel de S et de T : \(U=S\otimes T\)

Exemple 1 \[m=n=1 ~;~a,b\in\mathcal{\mathbb{R}}~;~ c=\{a,b\}\in\mathcal{\mathbb{R}}^2 \qquad \delta_a\otimes\delta_b=\delta_c\]

Exemple 2 \[m=n=1 ~;~\theta\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^2) \qquad \langle Y_x \otimes Y_y\rangle =\int\limits_0^{\infty}\int\limits_0^{\infty}\theta(x,y)~dx~dy\]

2.2. Dérivation du produit tensoriel

Les notations étant inchangées pour \(i\in\{1,2,\dots,m\}\) et \(j\in\{1,2,\dots,n\}\) : \[\left\{ \begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x_i}(S_x\otimes T_y)&=\frac{\partial S_x}{\partial x_i}\otimes T_y \\ \frac{\partial}{\partial y_j}(S_x\otimes T_y)&=S_x\otimes\frac{\partial T_y}{\partial y_j} \end{aligned} \right.\]

Exemple : \[\frac{\partial^2}{\partial x~\partial y}(Y_x\otimes Y_y)=\delta_{(0,0)}=\delta\quad\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^2)\]

3. Distribution de Dirac en convolution

3.1. Convolution par \(\delta\)

Soit T une distribution quelconque et \(\delta\) la distribution à l’origine.

\[\begin{aligned} \langle \delta\star T,\varphi\rangle &=\langle \delta_x.T_y,\varphi(x+y)\rangle =\langle T_y,\langle \delta_x,\varphi(x+y)\rangle \rangle \\ \langle \delta\star T,\varphi\rangle &=\langle T_y,\varphi(y)\rangle\end{aligned}\]

On a donc : \[\delta\star T=T\]

La distribution de Dirac à l’origine est un opérateur unitaire dans la convolution.

3.2. Convolution par \(\delta(x-a)\)

Dans les mêmes conditions :

\[\langle \delta(x-a)\star T(x),\varphi(x)\rangle =\langle T(x),\varphi(a+x)\rangle =\langle T(x-a),\varphi(x)\rangle\]

On a donc : \[\delta(x-a)\star T(x)=T(x-a)\]

En conclusion, pour translater une distribution, il suffit de la convoluer par la translatée \(\delta(x-a)\) de la distribution de Dirac.

En utilisant cette propriété, on peut en déduire que, si \(T=R\star S\) : \[T(x-a)=\{R \star S\}\star\delta(x-a)=R(x-a)\star S=R\star S(x-a)\]

3.3. Convolution par la dérivée \(\delta'\)

\[\begin{aligned} \langle \delta'\star T,\varphi\rangle &=\langle \delta'(x).T(y),\varphi(x+y)\rangle =\langle T(y),\langle \delta'(x),\varphi(x+y)\rangle \rangle \\ \langle \delta'\star T,\varphi\rangle &=-\langle T(y),\varphi'(y)\rangle =\langle T',\varphi\rangle \end{aligned}\]

D’où le résultat généralisé : \[\delta'\star T=T'\qquad\Rightarrow\qquad \delta^{(m)}\star T=T^{(m)}\]

Ainsi, pour dériver m fois une distribution, il suffit de la convoluer par la dérivée d’ordre m de la distribution de Dirac.

En utilisant cette propriété, on peut en déduire que : \[T=R \star S\qquad\Rightarrow\qquad T'=R'\star S=R \star S'\]