1. Introduction

Les axes liés à la terre sont considérés comme absolus, c’est-à-dire que les forces d’inertie d’entraînement dues à la translation de la terre et les forces d’inertie complémentaires dues à sa rotation sont négligées.

Dans un premier temps, les conditions nécessaires d’équilibre sont établies. Il s’agit de la phase statique. Dans un deuxième temps, l’accélération est introduite. C’est le point de départ de la phase dynamique.

Dans le cas de différents corps en mouvement, il faut associer la forme de contact, c’est-à- dire frottement ou glissement. La loi de frottement doit être connue ; dans la majorité des cas, il s’agira d’une loi linéaire.

2. Problèmes de statique

Un problème de statique peut se présenter de deux manières :

1. Sachant qu’un système est au repos dans une position donnée, on détermine les réactions aux différents points de contact.

2. Un système étant soumis à des forces données, on détermine les positions dans lesquelles il doit être abandonné sans vitesses pour demeurer immobile.

Dans le premier problème, on applique à chaque solide la loi fondamentale et, en chaque point de contact, on exprime les lois des actions de contact compte tenu du principe de l’égalité de l’action et de la réaction.

Dans le second problème, la position du système dépend d’un certain nombre de paramètres. Les inconnues sont d’une part les paramètres, d’autre part à titre d’inconnues auxiliaires, les réactions aux divers contacts.

La loi fondamentale ou les théorèmes généraux étant exprimés, on leur associe, pour chaque point de contact, les lois des actions de contact en respectant le principe de l’action et de la réaction.

L’élimination des réactions conduit à un système d’équations qui sont l’expression des conditions nécessaires d’équilibre.Il faut résoudre ce système et démontrer en même temps qu’elles sont suffisantes.

Les liaisons par contact s’expriment analytiquement par une ou plusieurs relations dans lesquelles interviennent les paramètres primitifs notés \(q_1,~q_2,~\dots,~q_n\). Ces liaisons peuvent être classées en deux catégories :

1. Les liaisons dites holonomes lorsque les relations qui traduisent cette liaison ne contiennent pas les dérivées des paramètres \(q_i\) : \[f(q_1,~q_2,~\dots,~q_n,~t)=0\qquad\text{ou}\qquad f(q_1,~q_2,~\dots,~q_n,~t)\geq 0\]

2. Les liaisons dites non holonomes lorsque les relations qui traduisent cette liaison contiennent des dérivées des paramètres \(q_i\).

3. Caractéristiques de quelques liaisons par contact

On fait l’hypothèse d’un frottement est négligeable.

3.1. Mouvement de translation

Dans un mouvement de translation, toutes les vitesses de glissement sont parallèles à la direction \(\Delta\) de la translation. Il en résulte que les réactions sont perpendiculaires à \(\Delta\).

Une condition nécessaire d’équilibre est que la résultante des forces données admette une projection nulle sur la direction de translation.

3.2. Mouvement de rotation autour d’un axe

On admettra sans démonstration la proposition suivante :

Une condition nécessaire d’équilibre est que le moment résultant des forces données par rapport à l’axe de rotation soit nul.

3.3. Mouvement hélicoïdal

Dans un mouvement hélicoïdal d’axe \(\Delta\) et de pas \(H\), la vitesse de glissement \(U\) en un point \(M\) fait avec les plans perpendiculaires à \(\Delta \) un angle \(i\) tel que \(H=2\pi~r\tan(i)\) où \(r\) désigne la distance du point \(M\) à sa projection orthogonale \(m\) sur l’axe de rotation.

La réaction \(R\) au point \(M\) a une composante \(R_1\) suivant \(mM\) et une composante \(R_2=R-R_1\) située dans le plan parallèle à \(\Delta\) passant par \(U\) et faisant l’angle \(i\) avec l’axe \(\Delta\).

Le moment de la réaction \(R\) par rapport à l’axe \(\Delta\) a pour expression \(r~R_2\sin(i)\). La projection de \(R\) sur \(\Delta\) a pour expression \(r~R_2\cos(i)\). Les deux grandeurs sont dans le rapport \(H/2\pi\).

Une condition nécessaire d’équilibre est que le moment résultant des forces données par rapport à l’axe \(\Delta\) et la projection sur \(\Delta\) de leur résultante générale soient dans le rapport \(H/2\pi\).

3.4. Mouvement de rotation autour d’un point fixe

On admettra sans démonstration la proposition suivante :

Une condition nécessaire d’équilibre est que le moment résultant des forces données par rapport au point fixe soit nul.

4. Problèmes de dynamique

On considère un système de solides soumis à des forces données, abandonné dans une position donnée, avec des vitesses initiales données. Il s’agit de déterminer son mouvement ultérieur.

La position du système dépend d’un certain nombre de paramètres choisis judicieusement pour que l’application de la loi fondamentale (ou des théorèmes généraux) conduise à une formulation (donc une résolution) la plus simple commode.

Étudier le mouvement, c’est trouver les valeurs des paramètres (ou leurs expressions) en fonction du temps. On considère deux types d’inconnues : les paramètres d’une part et des inconnues auxiliaires d’autre part qui sont les réactions aux divers contacts.

On effectue la mise en équations en deux étapes :

• en écrivant, pour chaque solide la loi fondamentale (ou les théorèmes généraux) ;

• en écrivant également, en chaque point de contact, les lois des actions de contact (en respectant le principe de l’égalité de l’action et de la réaction).

Par élimination des réactions, on obtient un système d’équations différentielles du second ordre dont le type le plus général est : \[\ddot{q}_k=f_k(q_1,q_2,\dots,q_k~;~\dot{q}_1,\dot{q}_2,\dots,\dot{q}_k~;~t)\qquad M(q_1,q_2,\dots,q_k~;~t)\]

Toute équation du premier ordre déduite de ces équations du second ordre est appelée intégrale première. L’obtention d’un nombre d’intégrales premières égal au nombre des paramètres permet l’étude qualitative du mouvement.

Le système admet une solution et une seule dès qu’on se donne les valeurs initiales des paramètres et de leurs dérivées. Ce résultat est un théorème d’existence et d’unicité ; il exprime que la position initiale d’un système matériel et l’état initial de ses vitesses déterminent le mouvement ultérieur sans ambiguïté.

5. Problèmes de chocs

5.1. Forme des problèmes

On dit qu’un système en mouvement subit un choc à un instant donné lorsque, à cet instant, les vitesses de ses éléments subissent des discontinuités. Le cas le plus fréquent est celui de deux solides en mouvement dont les surfaces, à un instant donné \(t=t_1\), viennent en contact en un point \(I\) que nous supposons être un point régulier sur chacune des deux surfaces.

Un problème de choc se présente alors sous l’aspect suivant : connaissant l’état des vitesses immédiatement avant le choc, déterminer l’état des vitesses immédiatement après le choc.

Pour effectuer la mise en équations :

• on écrit, pour chaque solide, la loi fondamentale et les théorèmes généraux ;

• on écrit également en chaque point de contact les lois des actions de contact en appliquant le principe de l’égalité de l’action et de la réaction.

On obtient ainsi un système d’équations linéaires.

En un contact entre deux solides, les solides possèdent des vitesses différentes. Nous désignons par \(V\) la différence de ces vitesses et par \(W\) la composante du vecteur \(V\) sur la normale commune aux deux solides. \(W\) représente la vitesse normale relative. Ses valeurs avant et après le choc sont notées respectivement \(W_1\) et \(W_2\) .

En première approximation, les quantités \(W_1\) et \(W_2\) sont liées par la relation : \[W_2=-e~W_1\leq 0\qquad;\qquad 0\leq e\leq 1\]

5.2. Choc de deux sphères

Deux sphères homogènes identiques, de masse \(m\), de centres \(O\) et \(O_1\), sont mobiles sans frottement sur un plan \((\pi)\). A un instant donné, la sphère \(S_1\) est heurtée par la sphère \(S\) dont le centre est animé d’une vitesse \(V\).

Nous nous proposons de déterminer les vitesses avant et après le choc \(V'\) et \(V'_1\) des centres \(O\) et \(O_1\), ainsi que la percussion de réaction \(P\) au contact des deux sphères parfaitement élastiques.

Le théorème du moment cinétique appliqué pour chaque sphère aux points \(O\) et \(O_1\) respectivement prouve que les vitesses angulaires de rotation des deux sphères demeurent continues à l’instant du choc.

Le théorème de la résultante cinétique appliqué pour chaque sphère se traduit par les équations :

\[\begin{aligned} m~(V'-V)-P&=0\\ m~V'_1-P&=0\end{aligned}\]

et aussi par le fait que les percussions de contact avec le plan sont nulles.

La condition de fin de choc s’écrit sous la forme : \[proj_{OO_1}(V'-V'_1)=-proj_{OO_1}(V)\]

On déduit des deux premières équations que : \[V'_1~//~OO_1\qquad;\qquad V'+V'_1-V=0\]

En rapprochant ce résultat de l’équation précédente, on voit que \(V'~\bot~OO_1\).

6. Mouvements avec frottement

Pour bien comprendre les processus de calcul, l’explication sera donnée à partir de deux exemples classiques de mouvement.

6.1. Mouvement d’un disque sur une droite

Un disque circulaire de rayon \(a\), pesant, vertical, dont le centre d’inertie \(G\) coïncide avec le centre géométrique, peut rouler et glisser sur une droite \(Ox\) qui fait un angle \(\alpha\) avec le plan horizontal.

La position du disque dépend de deux paramètres : l’abscisse \(x\) du centre et l’angle \(\theta\) que fait un de ses rayons avec une direction fixe.

Nous désignons par \(m\) la masse, par \(mk^2\) le moment d’inertie en \(G\), par \(T\) et \(N\) les composantes de la réaction sur \(Ox\) et sur \(Oy\).

L’application du théorème de la résultante cinétique donne deux équations :

\[\begin{aligned} -m\ddot{x}+mg\sin(\alpha)+T&=0\\ -mg\cos(\alpha)&=0\end{aligned}\]

L’application du théorème du moment cinétique au point \(G\) se traduit par la relation : \[-mk^2\ddot{\theta}+aT=0\]

La vitesse de glissement est la vitesse du point lié au disque et situé au contact \(I\) de l’axe \(Ox\) : \[\Big\{\frac{dG}{dt}\Big\}+\omega\wedge GI\]

Cette vitesse est portée par \(O\) et a pour valeur algébrique \[u=\dot{x}+a\dot{\theta}\]

Ces équations étant posées a priori, deux cas peuvent se produire : le roulement avec glissement et le roulement sans glissement.

6.1.1. Roulement sans glissement

Si le roulement est sans glissement, \(u = 0\). On obtient des valeurs constantes pour l’accélération linéaire \(\ddot{x}\), l’accélération angulaire \(\ddot{\theta}\) et les composantes \(T\) et \(N\). Tous calculs faits à partir des relations de la résultante cinétique et du moment cinétique :

\[\begin{aligned} &\ddot{x}=-a\ddot{\theta}=\frac{g\sin(\alpha)}{1+k^2/a^2}\\ &T=-\frac{mg\sin(\alpha)}{1+a^2/k^2}\\ &N=-mg\cos(\alpha)\end{aligned}\]

On connaît généralement la loi de frottement qui dépend des matériaux en contact. Il s’agit de deux fonctions \(f(N,u)\) et \(f(N,0)\) .

Ainsi, le mouvement précédent ne sera possible que si \(|T|\leq f(N,0)\). On distinguera deux types de frottements :

– Le frottement faible : \[f(mg\cos(\alpha),0)<\frac{mgk^2\sin(\alpha)}{a^2+k^2}\]

– Le frottement fort : \[f(mg\cos(\alpha),0)\geq\frac{mgk^2\sin(\alpha)}{a^2+k^2}\]

Les roulements sans glissement ne sont possibles qu’avec des frottements forts.

6.1.2. Roulement avec glissement

Lorsque le glissement n’est pas nul (\(u\neq 0\)), la dérivée s’exprime en fonction de la réaction tangentielle. On en déduit que la vitesse \(u\) satisfait à une équation différentielle du premier ordre : \[m\dot{u}=mg\sin(\alpha)+\frac{T}{(1+a^2/k^2)}\]

6.2. Mouvement d’une sphère sur un plan mobile

Une sphère pesante homogène, de centre \(C\), de rayon \(a\), de masse \(m\), roule sans glisser sur un plan horizontal animé d’une rotation uniforme autour de la verticale fixe \(Oz\). Nous désignons par \(T\) la composante horizontale de la réaction au contact \(I\) de la sphère et du plan.

Le point \(C\) se projette orthogonalement en \(J\) sur \(Oz\). On peut étudier le mouvement de la sphère soit en se plaçant dans les axes mobiles \(Oxyz\), soit en se plaçant dans les axes fixes \(Ox_1y_1z_1\) .

Première méthode

Nous traitons les axes \(Oxyz\) liés au plan mobile comme absolus en introduisant les forces d’entraînement et les forces d’inertie complémentaires. La rotation de la sphère par rapport aux axes \(Oxyz\) est désignée par \(\Omega\).

En application du théorème de la résultante cinétique : \[m\frac{d^2C}{dt^2}=mJC\omega^2-2m\omega\wedge\frac{dC}{dt}+T\]

En application du théorème du moment cinétique appliqué au point C : \[\frac{2}{5}ma^2\frac{d\Omega}{dt}=\frac{2}{5}ma^2\omega\wedge\Omega+CI\wedge T\]

En exprimant la condition de non glissement au contact \(I\) de la sphère et du plan : \[\frac{dC}{dt}+\Omega\wedge CI=0\]

Deuxième méthode

Nous raisonnons dans les axes fixes \(Ox_1y_1z_1\). Pour cela, nous introduisons la rotation \(\Omega_1=\Omega+\omega\) de la sphère par rapport à ces axes. Les équations du mouvement s’écrivent alors respectivement sous la forme :

\[\begin{aligned} m\Big\{\frac{d^2C}{dt^2}\Big\}_{Ox1y1}&=T\\ \frac{2}{5}ma^2\Big\{\frac{d\Omega_1}{dt}\Big\}_{Ox1y1}&=CI\wedge T\\ \Big\{\frac{dC}{dt}\Big\}_{Ox1y1}+\Omega_1\wedge CI&=\omega\wedge OI=\omega\wedge JC \end{aligned}\]